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        <![CDATA[Natürliche Zahlen]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video die Zahlenmenge N, die Natürlichen Zahlen. Die Natürlichen Zahlen sind die Zahlen, mit denen du das zählen lernst bzw. beginnst :)

Also Null, 1, 2, 3, 4, 5 und so weiter, bis unendlich. Die Natürlichen Zahlen sind alle positiven ganzzahligen Zahlen und Null (Null ist weder positiv noch negativ). Bei einigen Definitionen der Natürlichen Zahlen ist Null NICHT in der Zahlenmenge enthalten. 

Die Natürlichen Zahlen sind die kleinste der "großen Zahlenmengen". Es gibt zwar unendlich viele natürliche Zahlen, aber es gibt noch mehr Zahlen in den anderen Zahlenmengen (klingt komisch, ist aber so). Die Natürlichen Zahlen sind eine Teilmenge der Ganzen Zahlen, der Rationalen Zahlen, der Reellen Zahlen und der Komplexen Zahlen. 

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Ganze Zahlen]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video die Zahlenmenge Z, nämlich die Ganzen Zahlen. Die Ganzen Zahlen sind alle ganzzahligen Zahlen, sowohl positiv als auch negativ, und Null (Null ist weder positiv noch negativ). Das Symbol Z für die Ganzen Zahlen kommt übrigens vom deutschen Wort "Zahl" (sehr kreativ, oder?). Es kommt übrigens nicht oft vor, dass man deutsche Wörter für Symbole benutzt, meistens sind es englische Wörter.
Die Zahlenmenge Z ist also: Z={-unendlich,..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ..., unendlich} 

Die Ganzen Zahlen sind die zweitkleinste der "großen Zahlenmengen", nur die Natürlichen Zahlen sind noch "kleiner". Die Ganzen Zahlen sind eine Teilmenge der Rationalen Zahlen, der Reellen Zahlen und der Komplexen Zahlen. Die Natürlichen Zahlen sind eine Teilmenge der Ganzen Zahlen.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Rationale Zahlen]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus die Zahlenmenge der Rationalen Zahlen, also die Zahlenmenge Q. 

Die Rationalen Zahlen sind alle Zahlen, die man als Bruch (von 2 ganzen Zahlen) anschreiben kann. Als Dezimalzahl angeschrieben sind die Rationalen Zahlen alle Endlichen Dezimalzahlen (die also irgendwann nach dem Komma aufhören) und alle Unendlichen Periodischen Dezimalzahlen (alle Dezimalzahlen, die irgendwann periodisch werden). 

Da man alle Rationalen Zahlen als Bruch darstellen kann, kommt auch das Symbol Q. Dieses steht nämlich für Quotient (das Ergebnis einer Division). Jeder Bruch ist ja eine Division und hat als Ergebnis also einen Quotienten von 2 ganzen Zahlen. 

Neben den Rationalen Zahlen gibt es noch die Irrationalen Zahlen, diese lassen sich eben nicht als Bruch von 2 ganzen Zahlen darstellen.

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        <![CDATA[Irrationale Zahlen]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus die Zahlenmenge der Irrationalen Zahlen. Für diese Zahlenmenge gibt es leider kein offizielles Symbol wie für die anderen Zahlenmengen.

Die Irrationalen Zahlen sind alle Dezimalzahlen, die nach dem Komma unendlich viele Stellen haben und dabei NIE periodisch werden. Sie hören also nach dem Komma NIE auf. Sehr viele "Wurzelzahlen" sind irrational, beispielsweise die Wurzel aus 2, 3, 5, 6. Weitere irrationale Zahlen sind die Kreiszahl Pi oder die Eulersche Zahl e. 

Die Irrationalen Zahlen sind eine Teilmenge der Reellen Zahlen und eine Teilmenge der Komplexen Zahlen. Die Rationalen und die Irrationalen Zahlen "zusammengenommen" ergeben die Zahlenmenge der Reellen Zahlen.

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        <![CDATA[Reelle Zahlen]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video die Zahlenmenge R, die Reellen Zahlen. Es sind nicht die Realen Zahlen, sondern die Reellen Zahlen :)

Die Reellen Zahlen sind alle Irrationalen und Rationalen Zahlen "zusammengenommen", also die Vereinigungsmenge der Rationalen und Irrationalen Zahlen. 

Es sind also ALLE Zahlen, die man als Bruchzahl oder als Unendliche, Periodische oder Endliche Dezimalzahl darstellen kann. Nur die Wurzeln von negativen Zahlen sind nicht reell, sondern komplex.

Die Reellen Zahlen sind eine Teilmenge der Komplexen Zahlen. Die Natürlichen Zahlen, die Ganzen Zahlen, die Rationalen Zahlen und die Irrationalen Zahlen sind eine Teilmenge der Reellen Zahlen.

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        <![CDATA[Wie erkenne ich eigentlich eine komplexe Zahl?]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video, wie du eine Komplexe Zahl erkennst. Tatsächlich sind ALLE Zahlen, mit denen du in der Schule zu tun hast, Komplexe Zahlen. Denn alle anderen Zahlenmengen sind Teilmengen der Zahlenmenge C, also der Komplexen Zahlen. Jede natürliche Zahl, jede ganze Zahl, jede rationale Zahl, jede irrationale Zahl und jede reelle Zahl ist AUCH komplex.

Zahlen, die nicht reell, aber komplex sind, sind alle (geraden) Wurzeln aus negativen Zahlen. Diese schreibt man dann mit der imaginären Einheit i an. 

Die Wurzel aus minus 1 = i 

Die Natürlichen Zahlen, die Ganzen Zahlen, die Rationalen Zahlen, die Irrationalen Zahlen und die Reellen Zahlen sind eine Teilmenge der Komplexen Zahlen.

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        <![CDATA[Zahlengerade und Zahlenstrahl]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video den Unterschied zwischen Zahlengerade und Zahlenstrahl. 

Ganz allgemein, ein Strahl und eine Gerade sind beide gerade Linien. Ein Strahl hat einen Startpunkt, aber keinen Endpunkt. Der Strahl geht also in eine Richtung unendlich weiter. Und eine Gerade hat weder einen Startpunkt, noch einen Endpunkt. Sie geht also in beide Richtungen unendlich lang weiter. 

Ein spezieller Strahl bzw. eine spezielle Gerade ist der Zahlenstrahl bzw. die Zahlengerade. Der Zahlenstrahl beginnt bei 0 und hat kein Ende. Die Zahlengerade geht von minus unendlich bis plus unendlich, hat also weder Anfang noch Ende. Auf der Zahlengerade sind normalerweise die reellen Zahlen abgebildet (oder eventuell auch nur die ganzen Zahlen), auf einem Zahlenstrahl nur die positiven reellen Zahlen mit 0 oder auch die natürlichen Zahlen.

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        <![CDATA[Zahlenmengen: Die (echte) Teilmenge]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video den Begriff (echte) Teilmenge, der in Verbindung mit Mengen und Zahlenmengen vorkommt.  

Eine Menge ist genau dann eine Teilmenge einer anderen Menge, wenn alle Zahlen der Teilmenge in der "größeren" Menge vorkommen. Das Wort "echt" kann man dazusagen, muss man aber nicht. 

Alle natürlichen Zahlen sind in den ganzen Zahlen enthalten, daher sind die natürlichen Zahlen eine Teilmenge der ganzen Zahlen. Die ganzen Zahlen sind eine Teilmenge der rationalen Zahlen. Die rationalen Zahlen sind eine Teilmenge der reellen Zahlen und die reellen Zahlen sind eine Teilmenge der komplexen Zahlen.

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        <![CDATA[Wurzeln als Potenzen mit rationalen Hochzahlen]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video, was das Wurzel ziehen überhaupt ist und wie man Wurzeln auch als Hochzahlen mit rationalem Exponenten schreiben kann.

Das Wurzel ziehen ist die Umkehrung des Potenzierens. Beispielsweise:
3^3 = 27  , und es gilt natürlich auch nach Umformung:  "Die dritte Wurzel aus 27 = 3" oder 
2^6 = 64  , und es gilt natürlich auch nach Umformung:  "Die sechste Wurzel aus 64 = 2"

Die dritte Wurzel nennt man auch Kubikwurzel. Bei der "zweiten" Wurzel sagt man normalerweise nur Wurzel oder Quadratwurzel, und den 2er bei der Wurzel schreibt man auch nicht. 

Du kannst Wurzeln auch als Potenzen mit rationalem Exponenten (rationaler Hochzahl) schreiben.
"Die b-te Wurzel aus x hoch a" = x^(a/b)

Die Formeln für das Wurzel ziehen sind nicht so schwierig und kommen immer wieder vor. Also am besten auswendig lernen :)
Für alle anderen: Einfach in der Formelsammlung deiner Wahl (am besten in der Miranda Formelsammlung) die Formel nachschlagen :)

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        <![CDATA[Was ist eigentlich eine Endliche Dezimalzahl?]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus, was eine Endliche Dezimalzahl ist. 

Eine Endliche Dezimalzahl ist, wie der Name schon sagt, eine Dezimalzahl, die nach dem Komma irgendwann endet (also "aufhört"). 

Die Zahl 1,346 ist also eine endliche Dezimalzahl, weil nach dem 6er keine Stelle mehr kommt. Es gibt auch Unendliche Dezimalzahlen, die nach dem Komma NIE aufhören. Periodische Dezimalzahlen sind Unendliche Dezimalzahlen. Irrationale Zahlen sind ebenfalls Unendliche Dezimalzahlen.

Endliche Dezimalzahlen kann man IMMER als Bruch darstellen und sie sind IMMER Rationale Zahlen.

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        <![CDATA[Was ist eigentlich eine Unendliche Dezimalzahl?]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus, was eine Unendliche Dezimalzahl ist. 

Eine Unendliche Dezimalzahl ist, wie der Name schon sagt, eine Dezimalzahl, die nach dem Komma unendlich "weitergeht", also nie aufhört bzw. unendlich viele Stellen hat.

Es gibt 2 verschiedene Arten von Unendlichen Dezimalzahlen, die Periodischen Dezimalzahlen und die Unendlichen Dezimalzahlen, die NIE periodisch werden. Bei den Periodischen Dezimalzahlen wiederholt sich eine Zahl (oder Zahlensequenz) unendlich oft, beispielsweise 
"ein Drittel"= 0,333333...

Periodische Dezimalzahlen kann man IMMER als Bruch darstellen, sie sind also Rationale Zahlen. Unendliche Dezimalzahlen, die nie periodisch werden, kann man nicht als Bruch darstellen. Sie sind also Irrationale Zahlen.

Im Gegensatz zu den Unendlichen Dezimalzahlen gibt es noch die Endlichen Dezimalzahlen (diese haben nur eine endliche Anzahl an Nachkommstellen). Endliche Dezimalzahlen kann man IMMER als Bruch darstellen und sie sind IMMER Rationale Zahlen.

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        <![CDATA[Gibt es eigentlich eine kleinste bzw. größte Zahl?]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus beschäftigt sich in diesem Video mit der Frage, ob es eine kleinste Zahl bzw. eine größte Zahl gibt. Die Antwort darauf ist gar nicht soooo leicht, denn es kommt darauf an....

Wenn du eine bestimmte Menge gegeben hast, kann es sehr wohl sein, dass es in dieser Menge sowohl eine kleinste als auch eine größte Zahl gibt. Es kann aber auch sein, dass es in dieser Menge weder eine kleinste Zahl noch eine größte Zahl gibt.

Bei den Zahlenmengen haben nur die Natürlichen Zahlen eine kleinste Zahl, nämlich 0 oder 1 (je nach Definition der Natürlichen Zahlen), aber keine größte Zahl. Alle anderen Zahlenmengen haben weder eine kleinste, noch eine größte Zahl. 

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Wie sieht eigentlich eine Bruchzahl aus?]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video den Begriff Bruch bzw. Bruchzahl. 

Dieser Begriff kommt schon in der 1. oder 2. Klasse Unterstufe (also 5. oder 6. Schulstufe) vor, daher sollte ihn jeder von euch kennen :)

Sicher weiß jeder von euch, was ein Bruch ist, aber die einzelnen Bestandteile eines Bruchs werden manchmal verwechselt :)

Ein Bruch besteht aus einem Zähler (das, was oberhalb des Bruchstrichs steht) und einem Nenner (das, was unterhalb des Bruchstrichs steht). Je größer der Zähler (bei gleichbleibendem Nenner), desto größer die Bruchzahl.  3/4 ist größer als  1/4.
Je größer der Nenner (bei gleichbleibendem Zähler), desto kleiner die Bruchzahl. 1/4 ist größer als 1/10.

In der Unterstufe unterscheidet man dann noch zwischen "echter Bruch", "unechter Bruch", "uneigentlicher Bruch" und gemischte Zahl. Diese Unterscheidungen sind in der Oberstufe aber nicht mehr so wichtig. Zähler und Nenner musst du aber wissen :) 

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Die Kreiszahl π (Pi) oder "Die wahrscheinlich berühmteste Zahl der Welt"]]>
      </video:title>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video die Kreiszahl π (Pi). π (Pi) ist ein griechische Buchstabe. Die Kreiszahl wird selten auch Ludolphsche Zahl oder Archimedes-Konstante genannt.

π (Pi) gibt das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser an. Dieses Verhältnis ist für ALLE Kreise gleich, egal wie groß sie sind. π = u/d

π (Pi) ist, genauso wie die Eulersche Zahl e, eine irrationale Zahl. Sie geht also nach dem Komma unendlich lang weiter, ohne je periodisch zu werden.

π = 3,14159265358979...

Die Kreiszahl π ist eine der wichtigsten Konstanten in der Mathematik und wahrscheinlich auch die bekannteste Konstante in der Mathematik.

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        <![CDATA[Die Eulersche Zahl e]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video die Eulersche Zahl e. Ja, e ist natürlich ein Buchstabe, aber in der Mathematik ist damit fast immer eine ganz spezielle Zahl gemeint, nämlich die Eulersche Zahl. e ist, genau so wie pi, eine irrationale Zahl. Sie geht also nach dem Komma unendlich lang weiter, ohne je periodisch zu werden.

e = 2,718281828459045...

e ist in der Differential- und Integralrechnung sehr wichtig, und kommt auch bei der Normalverteilung vor (in der Funktionsgleichung der Dichtefunktion). 

e ist die Basis des natürlichen Logarithmus und der natürlichen Exponentialfunktion.
Die Eulersche Zahl e ist eine der wichtigsten Konstanten in der Mathematik. 

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Die mathematischen Begriffe Term und Variable]]>
      </video:title>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video, was denn ein Term und eine Variable überhaupt ist.

Ein Term ist ein mathematisch sinnvoller Ausdruck. Die "Sprache der Mathematik" besteht aus Termen, die man mit Rechenoperationen aneinanderreiht. Terme sind sozusagen die Wörter der Sprache der Mathematik.

Bei der Gleichung 5x+4 = x²  ist die Zahl 4 die Konstante bzw. der Konstante Term. 5x ist der Lineare Term und x² ist der quadratische Term. 5x+4  "als Ganzes" ist auch ein Term. Auf der linken Seite des "=" steht also ein Term, und auf der rechten Seite auch. "Als Ganzes" ist es allerdings kein Term mehr, sondern eine Gleichung. In dieser Gleichung ist das x die Variable (oder auch Unbekannte genannt). Die Variable ist immer der "Platzhalter", den man herausfinden will. Meist wird die Variable mit x bezeichnet, es können aber auch andere Buchstaben verwendet werden.

Das +-Zeichen alleine ist kein Term. Ein + braucht immer noch zusätzlich Buchstaben (Variablen) oder Zahlen, damit der Term mathematisch sinnvoll ist.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Terme und Gleichungen aufstellen]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus, wie du (Lineare) Terme und Gleichungen aufstellen kannst. 

Dafür gibt es leider kein allgemeines Rezept, das du immer anwenden kannst. Hier gilt es, die jeweilige Angabe zu verstehen und sie in mathematische Ausdrücke zu übersetzen. 

Um zu überprüfen, ob die aufgestellten Terme und Gleichungen richtig sind, kannst du in vielen Fällen geeignete Zahlen einsetzen und die Ergebnisse mit der Angabe vergleichen :)

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Terme und Gleichungen interpretieren]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus, wie du (Lineare) Terme und Gleichungen interpretieren kannst. Dafür gibt es leider kein allgemeines Rezept, das du immer anwenden kannst. Hier gilt es, die wichtigsten Komponenten der jeweiligen Linearen Terme bzw. Gleichungen zu erkennen und zu deuten. Oft kannst du geeignete Zahlen in die Terme bzw. Gleichungen einsetzen, um zu überprüfen, ob deine Interpretation richtig ist :)

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Äquivalente Terme]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus, wann 2 (oder mehr) Terme äquivalent sind. Äquivalent kommt ursprünglich aus dem Lateinischen und bedeutet "gleichwertig". Die Terme sind also äquivalent, wenn sie das Gleiche "aussagen". Das heißt, wenn man einen Term in den anderen Term "UMschreiben" bzw. "UMformen" kann, ohne dass sich der Wert des Terms ändert. 

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich".]]>
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        <![CDATA[Basics zu Gleichung, Ungleichung und Formel]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus die Basics zu den mathematischen Begriffen Gleichung, Ungleichung und Formel. 

Es gibt verschiedenste Arten von Gleichungen, im Schulstoff kommen häufig die Lineare Gleichung, Quadratische Gleichung, Gleichung dritten Grades (kubische Gleichung), die Exponentialgleichung und auch die Bruchgleichung vor.

Eine Gleichung kann eine Variable oder mehrere Variablen haben. Wir beschränken uns hier aber hauptsächlich auf eine Gleichung mit nur 1 Variablen. Eine Gleichung hat links und rechts vom Gleichheits-Zeichen " = " einen mathematischen Term stehen, beispielsweise:

5=5
3x=4
x²+5x=12

Wenn die Variablen (meist ist es nur eine einzige) als linearer Term - also mit der "unsichtbaren Hochzahl" 1 - vorkommen, dann spricht man von einer Linearen Gleichung. 

Ein Beispiel wäre:
3x+5=7  oder  -2x+3=0

Eine Lineare Gleichung mit einer Variablen hat entweder keine, eine oder unendlich viele Lösungen. Wenn mehrere Variablen vorkommen, wird es etwas komplizierter: Lineare Gleichungen mit mehreren Variablen haben oft unendlich viele Lösungen. 

Eine Lineare Gleichung mit einer Variablen kannst du normalerweise ganz einfach umformen und lösen. Allerdings kannst du die Gleichung natürlich auch in den Taschenrechner deiner Wahl eintippen und lösen lassen. Das händisch Lösen ist bei Linearen Gleichungen jedoch meist schneller.

Quadratische Gleichungen kannst du mit der Großen Lösungsformel (abc-Formel) oder mit der kleinen Lösungsformel (pq-Formel) lösen. 

Gleichungen dritten Grades oder Exponentialgleichungen sind oft schwierig händisch durch Umformungen zu lösen. Viele Taschenrechner (so auch unser Miranda-Taschenrechner) können solche Gleichungen lösen.

Bei einer Linearen Ungleichung kommen alle Variablen (meistens nur eine einzige, nämlich x) nur linear (also mit der "unsichtbaren Hochzahl 1") vor. Und statt dem = bei einer Gleichung hat man eines der Relationszeichen "größer als, größer-gleich, kleiner als und kleiner-gleich". Eine Lineare Ungl]]>
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        <![CDATA[Lineare Gleichungen lösen]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus, wie du Lineare Gleichungen lösen kannst. Eine Lineare Gleichung kann eine Variable oder mehrere Variablen haben. Wenn die Variablen (meist ist es nur eine einzige) als linearer Term - mit der "unsichtbaren Hochzahl" 1 - vorkommen, dann spricht man von einer Linearen Gleichung. 

Eine Lineare Gleichung mit einer Variablen hat entweder keine, eine oder unendlich viele Lösungen. Wenn mehrere Variablen vorkommen, wird es etwas komplizierter: Lineare Gleichungen mit mehreren Variablen haben oft unendlich viele Lösungen. 

Eine Lineare Gleichung mit einer Variablen kannst du normalerweise ganz einfach umformen und lösen. Allerdings kannst du die Gleichung natürlich auch in den Taschenrechner deiner Wahl eintippen und lösen lassen. Das händisch Lösen ist bei Linearen Gleichungen jedoch meist schneller.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Äquivalenz und Äquivalenzumformungen]]>
      </video:title>
      <video:description>
        <![CDATA[In diesem Video erklärt unser Tutor Markus, was Äquivalenz (bei Gleichungen) bedeutet und welche Umformungen Äquivalenzumformungen sind.

2 Gleichungen sind genau dann äquivalent, wenn sie genau dieselben Lösungen besitzen. Die Gleichungen x=3 und 2x=6 sind also äquivalent, weil sie beide nur die eine Lösung x=3 besitzen. Die Gleichungen x=5  und  x²=25  sind NICHT äquivalent, weil  x²=25 besitzt 2 Lösungen, nämlich x1=5 und x2= -5. Diese beiden Gleichungen besitzen also nicht genau dieselben Lösungen. 

Wenn du eine Gleichung umformst, um dir die Lösung (das x) zu berechnen, dann führst du eigentlich automatisch ÄQUIVALENZ-Umformungen aus. Denn vor und nach der Umformung hat die Gleichung noch dieselben Lösungen, die Gleichung vor und nach der Umformung ist also äquivalent. Es gibt aber einige Umformungen, die KEINE Äquivalenzumformungen sind, und die man demnach auch nicht durchführen darf. Hier sind einige Beispiele:

"auf beiden Seiten" mit null multiplizieren. Das ist NIE eine Äquivalenzumformung, also nicht erlaubt.
"auf beiden Seiten" quadrieren. Das ist manchmal eine Äquivalenzumformung
"auf beiden Seiten" durch die Variable x dividieren. Das ist keine Äquivalenzumformung, es geht eine Lösung verloren. 

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Äquivalenzumformungen bei Ungleichungen]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt unser Tutor Markus, welche Umformungen bei Ungleichungen Äquivalenzumformungen sind bzw. worauf du achten musst. 

2 Ungleichungen sind genau dann äquivalent, wenn sie genau dieselben Lösungen besitzen. Die Ungleichungen x größer 3 und 2x größer 6 sind also äquivalent, weil sie beide die Lösung x größer 3 besitzen.

Wenn du eine Gleichung umformst, um dir die Lösung (das x) zu berechnen, dann führst du automatisch ÄQUIVALENZ-Umformungen aus. Denn vor und nach der Umformung hat die Gleichung noch dieselben Lösungen, die Gleichung vor und nach der Umformung ist also äquivalent. Es gibt aber einige Umformungen, die KEINE Äquivalenzumformungen sind, und die man demnach auch nicht durchführen darf. Hier sind einige Beispiele:

"auf beiden Seiten" mit null multiplizieren. Das ist NIE eine Äquivalenzumformung, also nicht erlaubt.
"auf beiden Seiten" quadrieren. Das ist manchmal eine Äquivalenzumformung
"auf beiden Seiten" durch die Variable x dividieren. Das ist keine Äquivalenzumformung, es geht eine Lösung verloren. 

Bei Ungleichungen gibt es genau dieselben Äquivalenzumformungen wie bei Gleichungen bzw. es sind genau dieselben Umformungen verboten. 

Man muss aber bei Ungleichungen speziell noch auf Folgendes achten: Wenn du bei der Umformung "auf beiden Seiten" mit einer negativen Zahl multiplizierst bzw. dividierst, dann MUSST du das Ungleichheitszeichen "umdrehen". Aus "größer" wird dann "kleiner" und aus "größer gleich" wird "kleiner gleich" und umgekehrt. 

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Gleichungssystem]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video, wie du ein Gleichungssystem erkennst und richtig löst. 
Ein Gleichungssystem ist ein System von mehreren Gleichungen. Wenn du also 2 oder mehr Gleichungen hast, spricht man von einem Gleichungssystem. 

Um so ein Gleichungssystem zu lösen, brauchst du eine bestimmte Anzahl von Gleichungen. Wenn du beispielsweise 2 Variablen hast, benötigst du mindestens 2 Gleichungen, um das Gleichungssystem zu lösen und alle Variablen zu berechnen. Bei 3 Unbekannten benötigst du mindestens 3 Gleichungen, bei 4 Variablen 4 Gleichungen usw. 

Gleichungssysteme kannst du händisch mit dem Eliminationsverfahren, Gleichsetzungsverfahren oder Einsetzungsverfahren lösen. Es ist aber oft schneller und einfacher, wenn du die Lösung von deinem Taschenrechner berechnen lässt.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Anzahl der Lösungen eines Linearen Gleichungssystems (mit 2 Variablen)]]>
      </video:title>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video, wieviele Lösungen ein Lineares Gleichungssystem haben kann. 

Ein Gleichungssystem ist ein System von mehreren Gleichungen. Wenn du also 2 oder mehr Gleichungen hast, spricht man von einem Gleichungssystem. Bei einem Linearen Gleichungssystem kommen alle Variablen nur linear (also mit der Hochzahl 1) vor. Im Schulstoff handelt es sich bei Gleichungssystemen eigentlich immer um Lineare Gleichungssysteme.

Um so ein Gleichungssystem zu lösen, brauchst du eine bestimmte Anzahl von Gleichungen. Wenn du beispielsweise 2 Variablen hast, benötigst du mindestens 2 Gleichungen, um das Gleichungssystem zu lösen und alle Variablen zu berechnen. Bei 3 Unbekannten benötigst du mindestens 3 Gleichungen, bei 4 Variablen 4 Gleichungen usw. 

Gleichungssysteme kannst du händisch mit dem Eliminationsverfahren, Gleichsetzungsverfahren oder Einsetzungsverfahren lösen. Es ist aber oft schneller und einfacher, wenn du die Lösung von deinem Taschenrechner berechnen lässt.

Ein Lineares Gleichungssystem mit 2 Variablen kann folgende Lösungsfälle haben (die Schnittpunkte der Geraden sind die Lösungen des Gleichungssystems):
- Keine Lösung  (die den Gleichungen entsprechenden Geraden sind parallel und haben also keine Schnittpunkte)
- Genau eine Lösung (die den Gleichungen entsprechenden Geraden sind schneidend und haben einen Schnittpunkt)
- Unendlich viele Lösungen (die den Gleichungen entsprechenden Geraden sind ident. Sie liegen also "aufeinander" und haben unendlich viele Schnittpunkte)

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        <![CDATA[Was ist eine Quadratische Gleichung?]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus, wie du eine Quadratische Gleichung (mit einer Variablen) erkennst.
Hier ist die höchste Potenz 2, in der die Variable (meist x) vorkommt, also "x hoch 2".

Jede quadratische Gleichung hat entweder keine, eine oder 2 (reelle) Lösungen. Komplexe Lösungen gibt es immer genau 2. Du kannst eine quadratische Gleichung mit der Kleinen Lösungsformel oder mit der Großen Lösungsformel lösen. Die Anzahl der (reellen) Lösungen hängt von der Diskriminante ab. Die Diskriminante ist der Ausdruck, der bei der Lösungsformel unter der Wurzel steht. 

Du kannst die Lösungen von quadratischen Gleichungen auch graphisch darstellen. Es sind die Nullstellen, also die Schnittpunkte mit der x-Achse, der jeweiligen quadratischen Funktion.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Quadratische Gleichungen - Kleine Lösungsformel]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus die Kleine Lösungsformel (oft auch pq-Formel genannt), die du zum Lösen von Quadratischen Gleichungen brauchst. Allerdings kannst du die Kleine Lösungsformel nur bei der sogenannten "normierten quadratischen Gleichung" x²+px+q=0 anwenden. 

Jede quadratische Gleichung hat immer entweder keine, eine oder 2 (reelle) Lösungen (komplexe Lösungen gibt es immer genau 2). Die Anzahl der (reellen) Lösungen hängt von der Diskriminante ab. Die Diskriminante ist der Ausdruck, der bei der Lösungsformel unter der Wurzel steht. 

Du kannst die Lösungen von quadratischen Gleichungen auch graphisch darstellen. Es sind die Nullstellen, also die Schnittpunkte mit der x-Achse, der jeweiligen quadratischen Funktion.

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        <![CDATA[Was ist eigentlich eine normierte quadratische Gleichung?]]>
      </video:title>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus, wie du eine Normierte Quadratische Gleichung (mit einer Variablen) erkennst. Die höchste Potenz, in der die Variable (meist x) vorkommt, ist 2, also "x hoch 2". Und vor dem x² steht eine unsichtbare 1.

Die sogenannte normierte quadratische Gleichung sieht also allgemein so aus:
x²+px+q=0
also beispielsweise ist 
x²+3x-5=0  
eine normierte Gleichung. 

Eine normierte quadratische Gleichung kannst du mithilfe der Kleinen Lösungsformel (pq-Formel) lösen.

Jede quadratische Gleichung hat entweder keine, eine oder 2 (reelle) Lösungen. Komplexe Lösungen gibt es immer genau 2. Du kannst eine quadratische Gleichung mit der Kleinen Lösungsformel oder mit der Großen Lösungsformel lösen. Die Anzahl der (reellen) Lösungen hängt von der Diskriminante ab. Die Diskriminante ist der Ausdruck, der bei der Lösungsformel unter der Wurzel steht. 

Du kannst die Lösungen von quadratischen Gleichungen auch graphisch darstellen. Es sind die Nullstellen, also die Schnittpunkte mit der x-Achse, der jeweiligen quadratischen Funktion.

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        <![CDATA[Quadratische Gleichungen - Große Lösungsformel]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus die Große Lösungsformel (oft auch abc-Formel genannt), die du zum Lösen von Quadratischen Gleichungen brauchst. Es gibt auch die Kleine Lösungsformel, diese kannst du allerdings nur bei der sogenannten "normierten quadratischen Gleichung" x²+px+q=0 anwenden. Die Große Lösungsformel kannst du bei allen quadratischen Gleichungen anwenden. Sie ist aber etwas komplizierter.

Jede quadratische Gleichung hat entweder keine, eine oder 2 (reelle) Lösungen. Komplexe Lösungen gibt es immer genau 2. Die Anzahl der (reellen) Lösungen hängt von der Diskriminante ab. Die Diskriminante ist der Ausdruck, der bei der Lösungsformel unter der Wurzel steht. 

Du kannst die Lösungen von quadratischen Gleichungen auch graphisch darstellen. Es sind die Nullstellen, also die Schnittpunkte mit der x-Achse, der jeweiligen quadratischen Funktion.

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        <![CDATA[Quadratische Gleichungen - Die Diskriminante]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus die sogenannte Diskriminante. Die Diskriminante ist der Ausdruck, der bei der Kleinen bzw. Großen Lösungsformel unter der Wurzel steht. 

Jede quadratische Gleichung hat immer entweder keine, eine oder 2 (reelle) Lösungen (komplexe Lösungen gibt es immer genau 2). Die Anzahl der (reellen) Lösungen hängt von der Diskriminante ab.
Wenn die Diskriminante null ist, dann gibt es genau eine Lösung. Wenn die Diskriminante größer als null ist, dann gibt es 2 Lösungen, und wenn die Diskriminante kleiner als null ist, gibt es keine (reelle) Lösung. 

Du kannst die Lösungen von quadratischen Gleichungen auch graphisch darstellen. Es sind die Nullstellen (Schnittpunkte mit der x-Achse) der jeweiligen quadratischen Funktion.

Die Kleine Lösungsformel (oft auch pq-Formel genannt) und die Große Lösungsformel (auch abc-Formel) brauchst du zum Lösen von Quadratischen Gleichungen. Allerdings kannst du die Kleine Lösungsformel nur bei der sogenannten "normierten quadratischen Gleichung" x²+px+q=0 anwenden. Die Große Lösungsformel kannst du bei allen Quadratischen Gleichungen anwenden. Sie ist allerdings komplizierter.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Quadratische Gleichungen - Der Satz von Vieta]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus den Satz von Vieta. Vieta (1540-1603) war ein Mathematiker und beschrieb diese Zusammenhänge der Quadratischen Gleichungen als Erster. Deswegen sind diese Formeln nach ihm benannt. 

Die 3 Formeln des Satzes von Vieta basieren auf der sogenannten normierten quadratischen Gleichung x²+px+q=0. Durch Addition der beiden Lösungen erhältst du "minus p". Durch Multiplikation der beiden Lösungen erhältst du "q". Außerdem kannst du die normierte quadratische Gleichung auch in ihre Linearfaktoren zerlegen. 

Jede quadratische Gleichung hat entweder keine, eine oder 2 (reelle) Lösungen. Komplexe Lösungen gibt es immer genau 2. Du kannst eine quadratische Gleichung mit der Kleinen Lösungsformel oder mit der Großen Lösungsformel lösen. Die Anzahl der (reellen) Lösungen hängt von der Diskriminante ab. Die Diskriminante ist der Ausdruck, der bei der Lösungsformel unter der Wurzel steht. 

Du kannst die Lösungen von quadratischen Gleichungen auch graphisch darstellen. Es sind die Nullstellen, also die Schnittpunkte mit der x-Achse, der jeweiligen quadratischen Funktion.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Funktionstypen: Die Quadratische Funktion]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus den Funktionstyp einer quadratischen Funktion. 

Eine quadratische Funktion kann auch als Polynomfunktion zweiten Grades angesehen werden, da die höchste Potenz, in der x vorkommt, 2 ist. Eine quadratische Funktion hat also diese allgemeine Funktionsgleichung:

f(x)=a*x² + b*x + c

Eine quadratische Funktion ist immer parabelförmig und hat einen Scheitelpunkt. Dieser ist entweder ein Hochpunkt oder Tiefpunkt. Wenn a positiv ist, dann ist die Parabel positiv gekrümmt (nach oben offen), wenn a negativ ist, dann ist die Parabel negativ gekrümmt (nach unten offen). 

Wenn b=0 ist, dann ist die quadratische Funktion symmetrisch zur y-Achse. Es ist sie eine gerade Funktion.

Die Parabel schneidet die y-Achse immer im Punkt (0/c).

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Was ist ein Vektor?]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video, was ein Vektor eigentlich ist. 

Ein Vektor ist ein Element eines Vektorraums, in diesem Video beschäftigen wir uns allerdings nur mit Vektoren im geometrischen Sinn und mit n-dimensionalen Vektoren, also n-Tupeln. 

Vektoren kommen vor allem in der Ebene (im R²) und im Raum (im R³) vor. Vektoren können als Pfeile dargestellt werden. Sie verlaufen vom Anfangspunkt zum Endpunkt. Die Pfeilspitze zeichnet man am Endpunkt ein. Ein Vektor im R² hat nur 2 Koordinaten, die x- und y-Koordinate, Ein Vektor im R³ hat e Koordinaten, die x- ,y- und z-Koordinate. Du kannst den Vektor berechnen, indem du folgendes berechnest: 
Vektor = Endpunkt minus Anfangspunkt  bzw. 
Vektor = Spitze minus Schaft

Ein Vektor im Koordinatensystem (egal ob R² oder R³) hat KEINEN bestimmten Anfangspunkt. Ein Vektor hat nur eine bestimmte Richtung und eine bestimmte Länge. Man kann einen Vektor also beliebig im Koordinatensystem parallelverschieben. Der Startpunkt des Vektors kann jeder beliebige Punkt im Koordinatensystem sein, nur die Richtung und Länge des Vektors müssen gleich bleiben.

Es gibt auch n-dimensionale Vektoren, vor allem in der Wirtschaftsmathematik. Diese kann man leider nicht mehr im R² oder R³ darstellen. Einen solchen n-dimensionalen Vektor kannst du dir so vorstellen: Nimm an, du hast ein kleines Geschäft und verkaufst 10 Produkte. Dann bilden die einzelnen Preise der Produkte die Einträge des Preisvektors, die einzelnen Verkaufszahlen sind die Einträge des Verkaufsvektors, usw.
 
Du erhältst also 10-dimensionale Vektoren für den Preis, die Verkaufszahl, die Herstellungskosten, und so weiter. Mit diesen Vektoren kannst du dann Berechnungen durchführen, fast genauso einfach, als hättest du nur 1 Produkt. Statt einer einzigen Zahl für Preis, Verkaufszahl, usw. hast du dann einfach einen 10-dimensionalen Vektor. Die Berechnungen sind eigentlich genau gleich.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Ö]]>
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        <![CDATA[Rechnen mit n-dimensionalen Vektoren]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video, wie man mit n-dimensionalen Vektoren eigentlich rechnet. 

Es gibt n-dimensionale Vektoren, vor allem in der Wirtschaftsmathematik. Diese kann man leider nicht mehr im R² oder R³ darstellen. Einen solchen n-dimensionalen Vektor kannst du dir so vorstellen: Nimm an, du hast ein kleines Geschäft und verkaufst 10 Produkte. Dann bilden die einzelnen Preise der Produkte die Einträge des Preisvektors, die einzelnen Verkaufszahlen sind die Einträge des Verkaufsvektors, usw. 

Du erhältst also 10-dimensionale Vektoren für den Preis, die Verkaufszahl, die Herstellungskosten, und so weiter. Mit diesen Vektoren kannst du dann Berechnungen durchführen, fast genauso einfach, als hättest du nur 1 Produkt. Statt einer einzigen Zahl für Preis, Verkaufszahl, usw. hast du dann einfach einen 10-dimensionalen Vektor. Die Berechnungen bzw. die Formeln sind eigentlich genau gleich. Statt mit einer einzigen Zahl rechnet man dann eben mit 10-dimensionalen Vektoren, und man muss die Rechengesetze für Vektoren beachten. Beispielsweise musst du bei einer Multiplikation das Skalarprodukt berechnen.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Vektoren im Koordinatensystem]]>
      </video:title>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video, wie Vektoren in einem Koordinatensystem aussehen.  

Vektoren kommen in der Ebene (im R²) und im Raum (im R³) vor. Vektoren können als Pfeile dargestellt werden. Sie verlaufen von ihrem Anfangspunkt zu ihrem Endpunkt. Die Pfeilspitze zeichnet man am Endpunkt ein. Ein Vektor im R² hat nur 2 Koordinaten, die x- und y-Koordinate, Ein Vektor im R³ hat3e Koordinaten, die x- ,y- und z-Koordinate. Du kannst den Vektor berechnen, indem du folgendes berechnest: 
Vektor = Endpunkt minus Anfangspunkt  bzw. 
Vektor = Spitze minus Schaft

Ein Vektor hat KEINEN bestimmten Anfangspunkt. Ein Vektor hat nur eine bestimmte Richtung und eine bestimmte Länge. Man kann einen Vektor also beliebig im Koordinatensystem parallelverschieben. Der Startpunkt des Vektors kann jeder beliebige Punkt im Koordinatensystem sein, nur die Richtung und Länge des Vektors müssen gleich bleiben.

Um 2 oder mehr Vektoren graphisch zu addieren, muss man einfach an den ersten Vektor den nächsten Vektor "dranhängen". Der Anfangspunkt des resultierenden (Gesamt)-Vektors ist der Anfangspunkt des ersten Vektors. Der Endpunkt des resultierenden (Gesamt)-Vektors ist der Endpunkt des letzten Vektors (des 2., 3. oder 4. Vektors, je nachdem, wie viele du addierst). Der resultierenden (Gesamt)-Vektor verläuft dann natürlich wieder von seinem Anfangspunkt zu seinem Endpunkt. 

Um 2 oder mehr Vektoren graphisch zu subtrahieren, muss man einfach an den ersten Vektor den nächsten Vektor "in die entgegengesetzte Richtung dranhängen". Der Anfangspunkt des resultierenden (Gesamt)-Vektors ist der Anfangspunkt des ersten Vektors. Der Endpunkt des resultierenden (Gesamt)-Vektors ist der Endpunkt des letzten Vektors (des 2., 3. oder 4. Vektors, je nachdem, wie viele du subtrahierst). Der resultierenden (Gesamt)-Vektor verläuft dann natürlich wieder von seinem Anfangspunkt zu seinem Endpunkt. 

Im Video ist der Sachverhalt natürlich viel leichter zu erklären, deswegen schau dir am beste]]>
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        <![CDATA[Addition und Subtraktion bei Vektoren (graphisch)]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video, wie man Vektoren graphisch addiert und subtrahiert.  

Vektoren kommen in der Ebene (im R²) und im Raum (im R³) vor. Vektoren können als Pfeile dargestellt werden. Sie verlaufen vom Anfangspunkt zum Endpunkt. Die Pfeilspitze zeichnet man am Endpunkt ein. Ein Vektor im R² hat nur 2 Koordinaten, die x- und y-Koordinate, Ein Vektor im R³ hat e Koordinaten, die x- ,y- und z-Koordinate. Du kannst den Vektor berechnen, indem du folgendes berechnest: 
Vektor = Endpunkt minus Anfangspunkt  bzw. 
Vektor = Spitze minus Schaft

Um 2 oder mehr Vektoren graphisch zu addieren, muss man einfach an den ersten Vektor den nächsten Vektor "dranhängen". Der Anfangspunkt des resultierenden (Gesamt)-Vektors ist der Anfangspunkt des ersten Vektors. Der Endpunkt des resultierenden (Gesamt)-Vektors ist der Endpunkt des letzten Vektors (des 2., 3. oder 4. Vektors, je nachdem, wie viele du addierst). Der resultierenden (Gesamt)-Vektor verläuft dann natürlich wieder von seinem Anfangspunkt zu seinem Endpunkt. 

Um 2 oder mehr Vektoren graphisch zu subtrahieren, muss man einfach an den ersten Vektor den nächsten Vektor "in die entgegengesetzte Richtung dranhängen". Der Anfangspunkt des resultierenden (Gesamt)-Vektors ist der Anfangspunkt des ersten Vektors. Der Endpunkt des resultierenden (Gesamt)-Vektors ist der Endpunkt des letzten Vektors (des 2., 3. oder 4. Vektors, je nachdem, wie viele du subtrahierst). Der resultierenden (Gesamt)-Vektor verläuft dann natürlich wieder von seinem Anfangspunkt zu seinem Endpunkt. 

Im Video ist der Sachverhalt natürlich viel leichter zu erklären, deswegen schau dir am besten das Video an :)

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Die Multiplikation bei Vektoren (graphisch)]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video, wie man Vektoren graphisch multipliziert. Dabei ist die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl, und nicht mit einem anderen Vektor, gemeint. Eine Division gibt es eigentlich nicht, bzw. kann man eine Division mit der Multiplikation mit dem Kehrwert darstellen (eine Division durch 2 ist dasselbe wie eine Multiplikation mit 1/2 bzw. 0,5)  

Vektoren kommen in der Ebene (im R²) und im Raum (im R³) vor. Vektoren können als Pfeile dargestellt werden. Sie verlaufen vom Anfangspunkt zum Endpunkt. Die Pfeilspitze zeichnet man am Endpunkt ein. Ein Vektor im R² hat nur 2 Koordinaten, die x- und y-Koordinate, Ein Vektor im R³ hat 3 Koordinaten, die x- ,y- und z-Koordinate. Du kannst den Vektor berechnen, indem du folgendes berechnest: 
Vektor = Endpunkt minus Anfangspunkt  bzw. 
Vektor = Spitze minus Schaft

Um graphisch einen Vektor mit einer Zahl zu multiplizieren, muss man den Vektor einfach nur verlängern bzw. verkürzen. Wenn man "mal 3" rechnet, wird der Vektor einfach 3-mal so lang. Wenn man "mal 1/2" rechnet, wird der Vektor einfach halb so lang. Die Richtung des Vektors ändert sich dabei aber NICHT, nur seine Länge.

Im Video ist der Sachverhalt natürlich viel leichter zu erklären, deswegen schau dir am besten das Video an :)

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Parallelitätskriterium bei Vektoren]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video das Parallelitätskriterium für Vektoren, wann also 2 Vektoren parallel zueinander sind. 

2 Vektoren sind immer dann parallel zueinander, wenn ein Vektor das Vielfache des anderen Vektors ist. In diesem Fall kann man einen Vektor durch Multiplikation mit einer (reellen) Zahl in den anderen Vektor "überführen" bzw. "umformen". Wenn du also die x-, die y- (und die z-)Koordinate des ersten Vektors mit einer bestimmten Zahl multiplizierst und als Ergebnis den zweiten Vektor erhälst, dann sind die beiden Vektoren parallel zueinander.

Das Parallelitätskriterium funktioniert sowohl bei 2-dimensionalen, als auch bei 3-dimensionalen Vektoren.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Betrag (Länge) eines Vektors]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video den Betrag eines Vektors. Mit dem Betrag des Vektors berechnet man die Länge dieses Vektors.

Die Formel für den Betrag erfährst du im Video, du erkennst den Betrag an den Betrags-Strichen | | . 
Die Formel für den Betrag (also für die Länge) des Vektors gilt sowohl im R² (in der Ebene) als auch im R³ (im Raum). 

Im Video wird auch der Einheitsvektor (eines Vektors) erklärt. Dieser Einheitsvektor geht in dieselbe Richtung wie der "ursprüngliche" Vektor und hat immer die Länge 1. Du erhältst ihn, wenn du den Vektor durch den Betrag des Vektors dividierst.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Wann stehen 2 Vektoren normal aufeinander?]]>
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      <video:description>
        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video, wann 2 Vektoren normal aufeinander stehen.

Zwei Vektoren stehen immer dann normal aufeinander, wenn das Skalarprodukt der beiden Vektoren die Zahl null ergibt. Dies gilt sowohl im R² (in der Ebene) als auch im R³ (im Raum). 

"Normal aufeinander stehen" bedeutet dasselbe wie "rechtwinkelig aufeinander stehen". 2 Vektoren, die normal aufeinander sind, sind rechtwinkelig zueinander.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Vektorrechnung - Das Skalarprodukt]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus, was das sogenannte Skalarprodukt ist. 

Das Skalarprodukt braucht man beim Rechnen mit Vektoren. Mit dem Skalarprodukt kannst du überprüfen, ob 2 Vektoren normal aufeinander stehen (also im rechten Winkel aufeinander stehen). 

Beim Skalarprodukt multipliziert man 2 Vektoren miteinander. Wie genau, wird im Video erklärt. Das Ergebnis ist aber KEIN Vektor, sondern eine Zahl (ein Skalar). Wenn das Skalarprodukt von 2 Vektoren die Zahl Null ergibt, dann stehen die beiden Vektoren rechtwinkelig aufeinander.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Was bedeutet eigentlich Normal und Orthogonal?]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus die Begriffe Normal und Orthogonal. Diese kommen vor allem in Zusammenhang mit Vektoren und Geraden vor.

2 Geraden stehen normal oder orthogonal aufeinander, wenn sie rechtwinkelig aufeinander sind bzw. einen rechten Winkel einschließen. 

Auch 2 Vektoren stehen normal oder orthogonal aufeinander, wenn sie rechtwinkelig aufeinander sind bzw. einen rechten Winkel einschließen. Das Skalarprodukt der beiden Vektoren ergibt dann den Wert Null.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Der Normalvektor]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video, was ein Normalvektor eigentlich ist. 

Ein Normalvektor ist ein Vektor, der normal (also rechtwinkelig) auf einen anderen Vektor steht. Das Skalarprodukt der beiden Vektoren ist gleich null. Im R² bildest du den Normalvektor (von einem einem bestimmten Vektor), indem du x- und y-Koordinate des Vektors vertauschst und eines der beiden Vorzeichen änderst. Im R³ funktioniert dieses "Verfahren" nicht mehr. Im R³ musst du einen Normalvektor mithilfe des Skalarprodukts finden.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Was ist eigentlich ein Vektor?]]>
      </video:title>
      <video:description>
        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video, was ein Vektor eigentlich ist. 

Ein Vektor ist ein Element eines Vektorraums, in diesem Video beschäftigen wir uns allerdings nur mit Vektoren im geometrischen Sinn und mit n-dimensionalen Vektoren, also n-Tupeln. 

Vektoren kommen vor allem in der Ebene (im R²) und im Raum (im R³) vor. Vektoren können als Pfeile dargestellt werden. Sie verlaufen vom Anfangspunkt zum Endpunkt. Die Pfeilspitze zeichnet man am Endpunkt ein. Ein Vektor im R² hat nur 2 Koordinaten, die x- und y-Koordinate, Ein Vektor im R³ hat e Koordinaten, die x- ,y- und z-Koordinate. Du kannst den Vektor berechnen, indem du folgendes berechnest: 
Vektor = Endpunkt minus Anfangspunkt  bzw. 
Vektor = Spitze minus Schaft

Ein Vektor im Koordinatensystem (egal ob R² oder R³) hat KEINEN bestimmten Anfangspunkt. Ein Vektor hat nur eine bestimmte Richtung und eine bestimmte Länge. Man kann einen Vektor also beliebig im Koordinatensystem parallelverschieben. Der Startpunkt des Vektors kann jeder beliebige Punkt im Koordinatensystem sein, nur die Richtung und Länge des Vektors müssen gleich bleiben.

Es gibt auch n-dimensionale Vektoren, vor allem in der Wirtschaftsmathematik. Diese kann man leider nicht mehr im R² oder R³ darstellen. Einen solchen n-dimensionalen Vektor kannst du dir so vorstellen: Nimm an, du hast ein kleines Geschäft und verkaufst 10 Produkte. Dann bilden die einzelnen Preise der Produkte die Einträge des Preisvektors, die einzelnen Verkaufszahlen sind die Einträge des Verkaufsvektors, usw. 
Du erhältst also 10-dimensionale Vektoren für den Preis, die Verkaufszahl, die Herstellungskosten, und so weiter. Mit diesen Vektoren kannst du dann Berechnungen durchführen, fast genauso einfach, als hättest du nur 1 Produkt. Statt einer einzigen Zahl für Preis, Verkaufszahl, usw. hast du dann einfach einen 10-dimensionalen Vektor. Die Berechnungen sind eigentlich genau gleich.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Ös]]>
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        <![CDATA[Parameterdarstellung einer Geraden]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus die Parameterdarstellung einer Geraden.

Für die Parameterdarstellung einer Geraden brauchst du einen Punkt, der auf der Geraden liegt, einen Parameter (meist als t bezeichnet) und den Richtungsvektor der Geraden (in welche Richtung die Gerade verläuft). Den Punkt und den Richtungsvektor musst du in Vektorform aufschreiben. Hier wird also die Gerade in Vektorform dargestellt. 

Es gibt noch andere Darstellungsformen von Geraden: die "allgemeine Geradengleichung" (oder auch implizite Geradengleichung genannt), die Geradengleichung in der Form y=kx+d (auch explizite Geradengleichung genannt) und die Normalvektordarstellung einer Geraden.

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        <![CDATA[Allgemeine Geradengleichung]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus die Allgemeine Geradengleichung. Diese wird auch Implizite Geradengleichung genannt. 

Hier wird die Gerade in der Form ax+by=c dargestellt. Dabei ist a die x-Koordinate und b die y-Koordinate des Normalvektors der Geraden.

Bei dieser Form kannst du direkt den Normalvektor der Gerade ablesen. Diese Darstellung ist parameterfrei. Die Allgemeine Geradengleichung erhältst du, wenn du die Normalvektordarstellung einer Geraden "ausmultiplizierst".

Es gibt noch andere Darstellungsformen von Geraden: die Geradengleichung in der Form y=kx+d (oder auch explizite Geradengleichung genannt), die Parameterdarstellung einer Geraden und die Normalvektordarstellung einer Geraden.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Normalvektordarstellung einer Gerade]]>
      </video:title>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus die Normalvektordarstellung (oder Normalvektorform) einer Gerade. Für diese Darstellungsform brauchst du den Normalvektor der Geraden und einen Punkt, der auf der Geraden liegt. Hier wird die Gerade also in Vektorform dargestellt.

Bei der Normalvektordarstellung kannst du direkt den Normalvektor der Geraden und einen Punkt, der auf der Geraden liegt, ablesen. Allerdings ist diese Darstellungsform schwerer zu deuten als andere Darstellungsformen. Diese Geradengleichung ist eine parameterfreie Geradengleichung.

Wenn du die Normalvektorform "ausmultiplizierst", erhälst du die sogenannte Allgemeine Geradengleichung, weshalb die Allgemeine Geradengleichung manchmal fälschlicherweise als Normalvektorform bezeichnet wird.

Es gibt noch andere Darstellungsformen von Geraden:  die "allgemeine Geradengleichung" (oder auch implizite Geradengleichung genannt), die Parameterdarstellung einer Geraden und die Geradengleichung in der Form y=kx+d (oder auch explizite Geradengleichung genannt). 

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Geradengleichung in der Form y=kx+d]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus die Geradengleichung der Form y=kx+d. Diese Form wird auch Explizite Geradengleichung genannt. Es ist eine parameterfreie Darstellung. 

Bei dieser Darstellungsform siehst du sofort die Steigung der Gerade (nämlich k) und den Achsenabschnitt bzw. den "Schnittpunkt mit der y-Achse" (nämlich d). 

Die Lineare Funktion wird übrigens in der gleichen Form angeschrieben. Das liegt daran, dass der Funktionsgraph der Linearen Funktion eine Gerade ist, und zwar genau die Gerade die mit der Geradengleichung y=kx+d dargestellt wird.

Es gibt noch andere Darstellungsformen von Geraden: die "allgemeine Geradengleichung" (auch implizite Geradengleichung genannt), die Parameterdarstellung einer Geraden und die Normalvektordarstellung einer Geraden.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Was ist eigentlich eine Parameterfreie Geradengleichung?]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus, was eine parameterfreie Geradengleichung ist.

Es gibt verschiedene Darstellungsformen von Geraden: die Parameterdarstellung, die "allgemeine Geradengleichung" (oder auch implizite Geradengleichung genannt), die Geradengleichung in der Form y=kx+d (auch explizite Geradengleichung genannt) und die Normalvektordarstellung einer Geraden.

Für die Parameterdarstellung einer Geraden brauchst du einen Punkt, der auf der Geraden liegt, einen Parameter (meist als t bezeichnet) und den Richtungsvektor der Geraden (in welche Richtung die Gerade verläuft). Den Punkt und den Richtungsvektor musst du in Vektorform aufschreiben. Hier wird also die Gerade in Vektorform dargestellt. Die Parameterdarstellung einer Geraden ist dann eben NICHT parameterfrei. Alle anderen Darstellungsformen von Geraden sind parameterfreie Geradengleichungen.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Lagebeziehung von Geraden im R²]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus die verschiedenen Lagebeziehungen von Geraden im R², also im 2-dimensionalen Raum (Ebene).

In der Ebene gibt es 3 verschiedene Lagebeziehungen: parallel, ident und schneidend. "Normal aufeinander" ist keine eigene Lagebeziehung, sondern eine Spezialform von schneidend. Die Geraden schneiden sich im rechten Winkel. 

Parallel bedeutet, dass sich die Geraden nie schneiden, und ident bedeutet, dass die beiden Geraden "aufeinander liegen". 

Man kann diese Lagebeziehungen rechnerisch feststellen. 2 Geraden kann man durch ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Variablen (meistens x und y) darstellen. 
Wenn sich die Geraden schneiden, gibt es genau 1 Lösung für dieses Gleichungssystem. Wenn sie parallel sind, gibt es keine Lösung, und wenn sie ident sind, gibt es unendlich viele Lösungen. Die Lösungen des Gleichungssystems sind die Schnittpunkte der beiden Geraden.

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        <![CDATA[Lagebeziehung von Geraden im R³]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus die verschiedenen Lagebeziehungen von Geraden im R³, also im 3-dimensionalen Raum.

Im R³ gibt es 4 verschiedene Lagebeziehungen: parallel, ident und schneidend und windschief. "Normal aufeinander" ist keine eigene Lagebeziehung, sondern eine Spezialform von schneidend. Die Geraden schneiden sich hier im rechten Winkel. 

Parallel bedeutet, dass sich die Geraden nie schneiden, und ident bedeutet, dass die beiden Geraden "aufeinander liegen". Windschief bedeutet, dass die beiden Geraden zwar nicht parallel sind, sich aber trotzdem nicht schneiden. 

Man kann diese Lagebeziehungen rechnerisch feststellen, was allerdings im R³ nicht so einfach ist, da man im R³ Geraden nur mit der sogenannten Parameterdarstellung darstellen kann. Um die möglichen Schnittpunkte festzustellen, musst du die beiden Geraden "schneiden", also gleichsetzen. Wenn du genau 1 Lösung erhältst, sind die Geraden schneidend. Bei unendlich vielen Lösungen sind sie ident, und bei keiner Lösung sind sie entweder parallel oder windschief.

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        <![CDATA[Anzahl der Lösungen eines Linearen Gleichungssystems (mit 2 Variablen)]]>
      </video:title>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video, wieviele Lösungen ein Lineares Gleichungssystem haben kann. 

Ein Gleichungssystem ist ein System von mehreren Gleichungen. Wenn du also 2 oder mehr Gleichungen hast, spricht man von einem Gleichungssystem. Bei einem Linearen Gleichungssystem kommen alle Variablen nur linear (also mit der Hochzahl 1) vor. Im Schulstoff handelt es sich bei Gleichungssystemen eigentlich immer um Lineare Gleichungssysteme.

Um so ein Gleichungssystem zu lösen, brauchst du eine bestimmte Anzahl von Gleichungen. Wenn du beispielsweise 2 Variablen hast, benötigst du mindestens 2 Gleichungen, um das Gleichungssystem zu lösen und alle Variablen zu berechnen. Bei 3 Unbekannten benötigst du mindestens 3 Gleichungen, bei 4 Variablen 4 Gleichungen usw. 

Gleichungssysteme kannst du händisch mit dem Eliminationsverfahren, Gleichsetzungsverfahren oder Einsetzungsverfahren lösen. Es ist aber oft schneller und einfacher, wenn du die Lösung von deinem Taschenrechner berechnen lässt.

Ein Lineares Gleichungssystem mit 2 Variablen kann folgende Lösungsfälle haben (die Schnittpunkte der Geraden sind die Lösungen des Gleichungssystems):
- Keine Lösung  (die den Gleichungen entsprechenden Geraden sind parallel und haben also keine Schnittpunkte)
- Genau eine Lösung (die den Gleichungen entsprechenden Geraden sind schneidend und haben einen Schnittpunkt)
- Unendlich viele Lösungen (die den Gleichungen entsprechenden Geraden sind ident. Sie liegen also "aufeinander" und haben unendlich viele Schnittpunkte)

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        <![CDATA[Verschiedene Dreiecke]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus die wichtigsten verschiedenen Dreieckstypen.

Es gibt:
- Allgemeines Dreieck
- Rechtwinkeliges Dreieck (das Wichtigste von allen, man kann sowohl Satz von Pythagoras als auch Winkelfunktionen Sinus, Cosinus, Tangens anwenden)
- Gleichschenkeliges Dreieck (2 Seiten sind gleich lang, 2 Winkel sind gleich groß)
- Gleichseitiges Dreieck (alle 3 Seiten sind gleich lang, alle 3 Winkel sind 60°)

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        <![CDATA[Das Rechtwinkelige Dreieck]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video das Rechtwinkelige Dreieck. Es ist wahrscheinlich das wichtigste der verschiedenen Dreiecke, weil man sowohl den Satz von Pythagoras, als auch die Winkelfunktionen Sinus, Cosinus und Tangens in einem Rechtwinkeligen Dreieck anwenden kann.

Ein Rechtwinkeliges Dreieck besitzt genau einen rechten Winkel (eh klar, wie der Name schon sagt). Die beiden anderen Winkel sind beide spitz. Die längste Seite in einem rechtwinkeligen Dreieck ist die sogenannte Hypotenuse, die anderen beiden Seiten sind die sogenannten Katheten. Die Hypotenuse liegt immer gegenüber vom rechten Winkel.

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        <![CDATA[Der Satz von Pythagoras]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus den Satz von Pythagoras, die wahrscheinlich berühmteste mathematische Formel. 

Wichtig ist, dass der Satz von Pythagoras nur bei rechtwinkeligen Dreiecken gilt. Du kannst die Formel also nur bei rechtwinkeligen Dreiecken anwenden. Die Winkelfunktionen Sinus, Cosinus und Tangens kannst du ebenfalls nur in rechtwinkeligen Dreiecken anwenden. 

Die Formel lautet:
a² + b² = c²  , wobei a und b die Katheten des rechtwinkeligen Dreiecks sind, und c ist die Hypotenuse des rechtwinkeligen Dreiecks. Die Katheten schließen den rechten Winkel ein, die Hypotenuse ist immer die längste Seite des Dreiecks und liegt immer gegenüber des rechten Winkels.

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        <![CDATA[Trigonometrie: Sinus, Cosinus, Tangens]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus die Winkelfunktionen Sinus, Cosinus und Tangens, mit denen du in rechtwinkeligen Dreiecken Winkel und Seitenlängen berechnen kannst. Sinus, Cosinus und Tangens gehören zum Thema Trigonometrie.

Wichtig ist, dass du die Formeln für Sinus, Cosinus und Tangens NUR in RECHTWINKELIGEN Dreiecken verwenden kannst. Wenn das Dreieck nicht rechtwinkelig ist, dann gelten die Formeln NICHT und du darfst die Formeln nicht verwenden. Bei allgemeinen Dreiecken gibt es den Sinus- und den Cosinus-Satz. Diese beiden Sätze bzw. Formeln gelten in ALLEN Dreiecken. 

Es ist wichtig, dass du im rechtwinkeligen Dreieck die Hypotenuse und die beiden Katheten erkennst. Die Hypotenuse ist die längste Seite im rechtwinkeligen Dreieck und liegt IMMER gegenüber vom rechten Winkel. Die Ankathete liegt am jeweiligen Winkel AN, die Gegenkathete liegt gegenüber vom jeweiligen Winkel. 

Die Formeln für Sinus, Cosinus, Tangens findest du natürlich in jeder Formelsammlung, so auch in unserer Miranda-Formelsammlung. Bei jeder der 3 Formel kommen 3 Variablen vor. Wenn du 2 dieser 3 Variablen aus der Angabe (Skizze) weißt, dann kannst du dir die 3. Unbekannte berechnen.

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        <![CDATA[Der Einheitskreis]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video den sogenannten Einheitskreis.

Der Einheitskreis ist ein Kreid mit Radius 1 und wird verwendet, um die trigonometrischen Funktionen (Winkelfunktionen) Sinus, Cosinus und Tangens darzustellen. 

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        <![CDATA[Winkelmaße: Bogenmaß und Grad]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video die Einheit Grad, die man meistens für Winkel verwendet und die Einheit Bogenmaß, die man für die Winkelfunktionen Sinus, Cosinus und Tangens verwendet.

Neben Grad gibt es auch noch die Winkelmaße Bogenmaß (Radianten) und das selten verwendete Gon (früher Neugrad). 

Die Grad-Skala kennt natürlich jeder von euch. Sie geht von 0° bis 360°. Die Bogenmaß-Skala geht von 0 bis 2π und die Gon Skala geht von 0 bis 400 Gon. 

360° entspricht also 2π rad (und 400 Gon). Wie man von Grad in Bogenmaß (Radianten) und umgekehrt umrechnet, erfährst du auch in diesem Video .

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        <![CDATA[Was bzw. wo ist die Hypotenuse?]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video, was die Hypotenuse überhaupt ist bzw. wo und wie du sie findest. 

Die Hypotenuse kommt nur in einem rechtwinkeligen Dreieck vor und ist immer die längste Seite in einem rechtwinkeligen Dreieck. Du kannst sie ganz einfach finden, denn sie liegt immer gegenüber vom rechten Winkel in einem Dreieck. Die anderen beiden Seiten im rechtwinkeligen Dreieck nennt man Katheten. Die beiden Katheten schließen den rechten Winkel ein und müssen jeweils kürzer sein als die Hypotenuse.

Im rechtwinkeligen Dreieck gilt auch der berühmte Satz von Pythagoras: a² + b² = c²
In dieser Formel sind a und b die Katheten, und c ist die Hypotenuse. 

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        <![CDATA[Gegenkathete, Ankathete und Hypotenuse im Rechtwinkeligen Dreieck]]>
      </video:title>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video die Begriffe Hypotenuse und Kathete.  

Die Hypotenuse kommt nur in einem rechtwinkeligen Dreieck vor und ist immer die längste Seite in einem rechtwinkeligen Dreieck. Du kannst sie ganz einfach finden, denn sie liegt immer gegenüber vom rechten Winkel in einem Dreieck. Die anderen beiden Seiten im rechtwinkeligen Dreieck nennt man Katheten. Die beiden Katheten schließen den rechten Winkel ein und müssen jeweils kürzer sein als die Hypotenuse.

Die Begriffe Ankathete und Gegenkathete sind für die Winkelfunktionen Sinus, Cosinus und Tangens sehr wichtig. Die Ankathete ist dabei die Kathete, die am gesuchten Winkel ANliegt. Die Gegenkathete ist die Kathete, die GEGENüber vom gesuchten Winkel liegt.

Im rechtwinkeligen Dreieck gilt auch der berühmte Satz von Pythagoras: a² + b² = c²
In dieser Formel sind a und b die Katheten, und c ist die Hypotenuse. 

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Das Konzept von Funktionen - Was ist eine Funktion überhaupt?]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus das Konzept von mathematischen Funktionen. Was ist eine Funktion überhaupt? 

Damit du in Mathe bei Schularbeiten, Tests und überhaupt erfolgreich sein kannst, musst du unbedingt das Konzept von Funktionen verstehen. Funktionen sind ein sehr großer Teil der Mathematik, und das Konzept der Funktionen ist die Grundlage.

Du kannst dir Funktionen wie mathematische Maschinen vorstellen. Und wie bei jeder Maschine gibst du auf der einen Seite etwas in die Maschine hinein (Input) und auf der anderen Seite kommt etwas aus der Maschine heraus (Output). Bei solchen "Funktions-Maschinen" ist der Input das Argument x (kann auch ein anderer Buchstabe sein) und heraus kommt der Funktionswert f(x), der Funktionswert ist der Output. 

Wie die Maschine genau funktioniert bzw. was sie mit dem Input macht, wird mit der sogenannten Funktionsgleichung beschrieben. Die "Funktions-Maschine" kann von einem gewissen Typ sein (Linear, Exponentiell, Quadratisch usw.).

Bei jedem Typ sieht der Funktionsgraph ähnlich aus, und der Input (das Argument x) wird ähnlich "bearbeitet", um den Output (den Funktionswert f(x) ) zu bekommen.

Bei einer Funktion wird jedem Argument x GENAU 1 Funktionswert f(x) zugeordnet. Für jeden Input erhältst du also genau einen (und wirklich nur einen, nicht mehr oder weniger) Output. Für jedes x bekommst du genau ein f(x) bzw. y zurück.

Bei einer Funktion gibt es viele verschiedene Bestandteile: 

- f ist der Name der Funktion (meist f, g oder h). Es kann aber auch jeder andere Buchstabe sein.

- f: A "Pfeil" B:  spricht man so aus: "Die Funktion f von A nach B", wobei A die Definitionsmenge und B die Ziel- bzw. Wertemenge ist.

- x ist das Argument der Funktion (auch unabhängige Variable genannt). Ein bestimmtes x nennt man Stelle. Das Argument x ist der "Input".

- f(x) ist der sogenannte Funktionswert. Man spricht es so aus: "f von x". Jedem Argument x wird genau ein Funktionswert f(x) zugeordnet. Der Funktionswert wird manch]]>
      </video:description>
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        <![CDATA[Was ist eine (reelle) Funktion?]]>
      </video:title>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus, was eine (reelle) Funktion überhaupt ist.

Damit du in Mathe bei Schularbeiten, Tests und überhaupt erfolgreich sein kannst, musst du unbedingt das Konzept von Funktionen verstehen. Funktionen sind ein sehr großer Teil der Mathematik, und das Konzept der Funktionen ist die Grundlage.

Du kannst dir Funktionen wie mathematische Maschinen vorstellen. Und wie bei jeder Maschine gibst du auf der einen Seite etwas in die Maschine hinein (Input) und auf der anderen Seite kommt etwas aus der Maschine heraus (Output). Bei solchen "Funktions-Maschinen" ist der Input das Argument x (kann auch ein anderer Buchstabe sein) und heraus kommt der Funktionswert f(x), der Funktionswert ist der Output. 

Wie die Maschine genau funktioniert bzw. was sie mit dem Input macht, wird mit der sogenannten Funktionsgleichung beschrieben. Die "Funktions-Maschine" kann von einem gewissen Typ sein (Linear, Exponentiell, Quadratisch usw.).

Bei einer Funktion wird jedem Argument x GENAU 1 Funktionswert f(x) zugeordnet. Für jeden Input erhältst du also genau einen (und wirklich nur einen, nicht mehr oder weniger) Output. Für jedes x bekommst du genau ein f(x) bzw. y zurück.

Eine Funktion ist dann eine reelle Funktion, wenn sowohl die Definitionsmenge, als auch die Wertemenge reellen Zahlen oder eine Teilmenge der reellen Zahlen sind. Im Schulstoff kommen nur reelle Funktionen vor. Wenn die Definitionsmenge die Komplexen Zahlen wären, dann wäre es keine reelle Funktion mehr.

Bei einer Funktion gibt es viele verschiedene Bestandteile: 

- f ist der Name der Funktion (meist f, g oder h). Es kann aber auch jeder andere Buchstabe sein.

- f: A "Pfeil" B:  spricht man so aus: "Die Funktion f von A nach B", wobei A die Definitionsmenge und B die Ziel- bzw. Wertemenge ist.

- x ist das Argument der Funktion (auch unabhängige Variable genannt). Ein bestimmtes x nennt man Stelle. Das Argument x ist der "Input".

- f(x) ist der sogenannte Funktionswert. Man sp]]>
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        <![CDATA[Darstellungsformen von Funktionen]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus die verschiedenen Darstellungsformen von Funktionen. Man kann Funktionen in Tabellenform, als Funktionsgleichung, als Zuordnungsvorschrift oder als Funktionsgraph darstellen. 

Üblicherweise sind bei den meisten Aufgaben Funktionen entweder als Funktionsgraph oder mithilfe einer Funktionsgleichung angegeben.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Verschiedene Bezeichnungen und Sprechweisen bei Funktionen]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus, wie man die einzelnen Elemente einer Funktion bezeichnet und wie man die mathematischen Symbole und Funktionsgleichungen "ausspricht".

Bei einer Funktion gibt es viele verschiedene Bestandteile: 
f ist der Name der Funktion. Neben f wird häufig auch g oder  h verwendet. Natürlich kann aber auch jeder andere Buchstabe verwendet werden.
f: A "Pfeil" B:  spricht man so aus: "Die Funktion f von A nach B", wobei A die Definitionsmenge und B die Ziel- bzw. Wertemenge ist.
x ist das Argument der Funktion, auch unabhängige Variable genannt. Ein bestimmtes x nennt man Stelle.
f(x) ist der sogenannte Funktionswert. Man spricht es so aus: "f von x". Jedem Argument x wird genau 1 Funktionswert f(x) zugeordnet. Der Funktionswert wird manchmal auch als Abhängige Variable bezeichnet.
f(x)= 5x² + 3x  ist die Funktionsgleichung, und nur die rechte Seite  5x² + 3x ist der sogenannte Funktionsterm.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Wie sieht ein Funktionsgraph aus?]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt dir in diesem Video, wie ein Funktionsgraph aussieht.

Diese Frage ist nicht so leicht zu beantworten, denn es kommt darauf an, von welchem Funktionstyp die Funktion ist. Eine Lineare Funktion ist eine Gerade, eine Quadratische Funktion ist eine Parabel, eine Sinus- und Cosinusfunktion ist "wellenförmig" und periodisch, und so weiter.

Der Funktionsgraph einer Funktion wird in einem kartesischen Koordinatensystem mit x- und y-Achse aufgezeichnet. Der Funktionsgraph sind alle Wertepaare bzw. Punkte, die die jeweilige Funktionsgleichung erfüllen. Dadurch ergibt sich eine bestimmte Kurvenform, die eben je nach Funktionstyp anders aussieht. 

Ein Funktionsgraph kann noch weitere Eigenschaften besitzen:
Wenn die Funktion streng monoton steigend ist, dann ist ihre Steigung größer als null. Wenn sie "nur" monoton steigend ist, dann ist die Steigung größer oder gleich null.
Analog ist es bei "fallend":
Wenn die Funktion streng monoton fallend ist, dann ist ihre Steigung kleiner als null. Wenn sie "nur" monoton fallend ist, dann ist die Steigung kleiner oder gleich null.

Bei den Extremstellen einer Funktion ist die Steigung der Funktion genau null. Die Steigung einer Funktion kannst du dir mithilfe der 1. Ableitung der Funktion berechnen, also:
1. Ableitung einer Funktion = Steigung der Funktion

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        <![CDATA[Vom Funktionsgraphen ablesen]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt dir in diesem Video, wie du einen Funktionsgraphen richtig lesen kannst.

Der Funktionsgraph einer Funktion wird in einem kartesischen Koordinatensystem mit x- und y-Achse aufgezeichnet. Der Funktionsgraph sind alle Wertepaare bzw. Punkte, die die jeweilige Funktionsgleichung erfüllen. Dadurch ergibt sich eine bestimmte Kurvenform, die je nach Funktionstyp anders aussieht. Eine Lineare Funktion ist eine Gerade, eine Quadratische Funktion eine Parabel, eine Sinus- und Cosinusfunktion "wellenförmig" und periodisch.

Wenn du einen Funktionsgraphen siehst, kannst du die Wertepaare (x/y) bzw. (x/f(x) ) vom Funktionsgraphen ablesen. Auf der x- und y-Achse sind meist verschiedene Größen aufgetragen. Auf der x-Achse kann zum Beispiel die Zeit und auf der y-Achse die Geschwindigkeit eines Autos aufgetragen sein, das auf der Autobahn fährt.

Ein Funktionsgraph hat dann noch verschiedene weiter Eigenschaften, beispielsweise:

Wenn die Funktion streng monoton steigend ist, dann ist ihre Steigung größer als null. Wenn sie "nur" monoton steigend ist, dann ist die Steigung größer oder gleich null.
Analog ist es bei "fallend":
Wenn die Funktion streng monoton fallend ist, dann ist ihre Steigung kleiner als null. Wenn sie "nur" monoton fallend ist, dann ist die Steigung kleiner oder gleich null.

Bei den Extremstellen einer Funktion ist die Steigung der Funktion genau null. Die Steigung einer Funktion kannst du dir mithilfe der 1. Ableitung der Funktion berechnen, also:
1. Ableitung einer Funktion = Steigung der Funktion

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        <![CDATA[Schnittpunkte von Funktionsgraphen]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus, wie du die Schnittpunkte von 2 Funktionsgraphen berechnen und interpretieren kannst. 

Die Schnittpunkte von 2 Funktionsgraphen sind die Punkte, an denen sich die Funktionsgraphen schneiden. Daher sind an diesen Punkten sowohl die x-Koordinaten, als auch die y-Koordinate (Funktionswerte) der beiden Funktionen gleich. Du kannst die beiden Funktionen gleichsetzen, also f(x)=g(x) bilden, und dann die Lösung dieser Gleichung händisch oder mit dem Taschenrechner bestimmen (je nachdem, wie schwierig die Gleichung ist). 

Die Lösung(en) (es kann keinen, einen oder mehrere Schnittpunkte geben) sind die x-Koordinaten der Schnittpunkte. Die zugehörigen Funktionswerte (y-Koordinaten) kannst du berechnen, indem du die erhaltenen x-Werte in eine der beiden Funktionsgleichungen einsetzt. 

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        <![CDATA[Die Nullstellen einer Funktion]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt dir in diesem Video die die Nullstellen einer Funktion. An den Nullstellen einer Funktion ist der Funktionswert f(x) der Funktion gleich null. 

Du kannst dir die Nullstellen also berechnen, indem du die Funktion an sich bzw. f(x) gleich null setzt und diese Gleichung dann löst. Du bildest die Gleichung f(x)=0. Wenn die Funktionsgleichung so lautet:  f(x)=3x²-2x-4 ,dann musst du die Gleichung  3x²-2x-4=0 lösen.

Die Nullstellen einer Funktion sind immer die Schnittpunkte der Funktion mit der x-Achse. Als Lösungen der aufgestellten Gleichung erhältst du die Nullstellen. 

Andere wichtige Stellen einer Funktion sind die Extremstellen und die Wendestellen. Wendestellen, an denen die Steigung gleich null ist, nennt man Sattelstellen.

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        <![CDATA[Monotonie einer Funktion]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt dir in diesem Video die Monotonie (bzw. das Monotonieverhalten) einer bestimmten Funktion. Unter Monotonie versteht man die Steigung einer Funktion, in welchen Intervallen die Funktion also (streng) monton steigend bzw. (streng) monoton fallend ist. 

Wenn die Funktion streng monoton steigend ist, dann ist ihre Steigung größer als null. Wenn sie "nur" monoton steigend ist, dann ist die Steigung größer oder gleich null.
Analog ist es bei "fallend":
Wenn die Funktion streng monoton fallend ist, dann ist ihre Steigung kleiner als null. Wenn sie "nur" monoton fallend ist, dann ist die Steigung kleiner oder gleich null.

Bei den Extremstellen einer Funktion ist die Steigung der Funktion genau null. Die Steigung einer Funktion kannst du dir mithilfe der 1. Ableitung der Funktion berechnen, also:
1. Ableitung einer Funktion = Steigung der Funktion

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        <![CDATA[Die Extremstellen einer Funktion]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt dir in diesem Video die Extremstellen einer Funktion. An den Extremstellen einer Funktion ist die Steigung (bzw. die 1. Ableitung) der Funktion gleich null. 

Du kannst dir die Extremstellen also berechnen, indem du die 1. Ableitung der Funktion gleich null setzt und diese Gleichung dann löst. Es gibt 2 Arten von Extremstellen, nämlich eine Minimumstelle (dort ist der Tiefpunkt) und eine Maximumstelle (dort ist der Hochpunkt). 

An den Extremstellen ändert sich das Monotonieverhalten der Funktion. In anderen Worten: An einer Extremstelle ändert sich das Vorzeichen der Steigung der Funktion, und genau an der Extremstelle ist die Steigung gleich null.

Wenn die Funktion streng monoton steigend ist, dann ist ihre Steigung größer als null. Wenn sie "nur" monoton steigend ist, dann ist die Steigung größer oder gleich null.
Analog ist es bei "fallend":
Wenn die Funktion streng monoton fallend ist, dann ist ihre Steigung kleiner als null. Wenn sie "nur" monoton fallend ist, dann ist die Steigung kleiner oder gleich null.

Bei den Extremstellen einer Funktion ist die Steigung der Funktion genau null. Die Steigung einer Funktion kannst du dir mithilfe der 1. Ableitung der Funktion berechnen, also:
1. Ableitung einer Funktion = Steigung der Funktion

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        <![CDATA[Das Monotonieverhalten einer Funktion]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt dir in diesem Video die Monotonie (bzw. das Monotonieverhalten) einer bestimmten Funktion. Unter Monotonie versteht man die Steigung einer Funktion, in welchen Intervallen die Funktion also (streng) monton steigend bzw. (streng) monoton fallend ist. 

Wenn die Funktion streng monoton steigend ist, dann ist ihre Steigung größer als null. Wenn sie "nur" monoton steigend ist, dann ist die Steigung größer oder gleich null.
Analog ist es bei "fallend":
Wenn die Funktion streng monoton fallend ist, dann ist ihre Steigung kleiner als null. Wenn sie "nur" monoton fallend ist, dann ist die Steigung kleiner oder gleich null.

Bei den Extremstellen einer Funktion ist die Steigung der Funktion genau null. Die Steigung einer Funktion kannst du dir mithilfe der 1. Ableitung der Funktion berechnen, also:
1. Ableitung einer Funktion = Steigung der Funktion

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        <![CDATA[Lokale Extrema einer Funktion]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt dir in diesem Video die lokalen Extrema (die Extremstellen) einer Funktion. An den Extremstellen einer Funktion ist die Steigung (1. Ableitung) der Funktion gleich null. 

Du kannst die Extremstellen berechnen, indem du die 1. Ableitung der Funktion gleich null setzt und diese Gleichung dann löst. Es gibt 2 Arten von Extremstellen, nämlich eine Minimumstelle (dort ist der Tiefpunkt) und eine Maximumstelle (dort ist der Hochpunkt). 

An den Extremstellen ändert sich das Monotonieverhalten der Funktion. In anderen Worten: An einer Extremstelle ändert sich das Vorzeichen der Steigung der Funktion, und genau an der Extremstelle ist die Steigung gleich null.

Wenn die Funktion streng monoton steigend ist, dann ist ihre Steigung größer als null. Wenn sie "nur" monoton steigend ist, dann ist die Steigung größer oder gleich null.

Analog ist es bei "fallend": Wenn die Funktion streng monoton fallend ist, dann ist ihre Steigung kleiner als null. Wenn sie "nur" monoton fallend ist, dann ist die Steigung kleiner oder gleich null.

Bei den Extremstellen einer Funktion ist die Steigung der Funktion genau null. Die Steigung einer Funktion kannst du dir mithilfe der 1. Ableitung der Funktion berechnen:

1. Ableitung einer Funktion = Steigung der Funktion

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        <![CDATA[Die Krümmung einer Funktion]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt dir in diesem Video die Krümmung einer Funktion, in welchen Intervallen die Funktion also positiv gekrümmt (linksgekrümmt) bzw. negativ gekrümmt (rechtsgekrümmt) ist. 

Wenn die Funktion positiv gekrümmt ist, dann ist ihre Krümmung größer als null. Die Form der positiven Krümmung sieht wie ein Happy Smiley aus, happy = positiv :)
Wenn die Funktion negativ ist, dann ist ihre Krümmung kleiner als null. Die Form der negativen Krümmung sieht wie ein trauriger Smiley aus, traurig = negativ 

Bei den Wendestellen einer Funktion ist die Steigung der Funktion genau null. Die Krümmung einer Funktion kannst du dir mithilfe der 2. Ableitung der Funktion berechnen:

2. Ableitung einer Funktion = Krümmung der Funktion

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        <![CDATA[Wendestellen einer Funktion]]>
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      <video:description>
        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video die Wendestellen einer Funktion. An den Wendestellen einer Funktion ist die Krümmung (2. Ableitung) der Funktion gleich null. 

Du kannst die Wendestellen berechnen, indem du die 2. Ableitung der Funktion gleich null setzt und diese Gleichung dann löst. Wenn du außerdem den zugehörigen Funktionswert (die zugehörige y-Koordinate) berechnest, erhältst du den Wendepunkt. Wichtig dabei: Ein "Punkt" in einem Koordinatensystem hat immer eine x- UND eine y-Koordinate. Mit Stelle ist nur die jeweilige x-Koordinate gemeint.

An den Wendestellen ändert sich das Krümmungsverhalten der Funktion (von positiver auf negative Krümmung oder umgekehrt). In anderen Worten: An einer Wendestelle ändert sich das Vorzeichen der Krümmung der Funktion, und genau an der Wendestelle ist die Krümmung gleich null.

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        <![CDATA[Wendepunkte einer Funktion]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video die Wendepunkte (bzw. Wendestellen) einer Funktion. An den Wendestellen einer Funktion ist die Krümmung (2. Ableitung) der Funktion gleich null. 

Du kannst die Wendestellen berechnen, indem du die 2. Ableitung der Funktion gleich null setzt und diese Gleichung dann löst. Wenn du außerdem den zugehörigen Funktionswert (die zugehörige y-Koordinate) berechnest, erhältst du den Wendepunkt. Wichtig dabei: Ein "Punkt" in einem Koordinatensystem hat immer eine x- UND eine y-Koordinate. Mit Stelle ist nur die jeweilige x-Koordinate gemeint.

An den Wendestellen ändert sich das Krümmungsverhalten der Funktion (von positiver auf negative Krümmung oder umgekehrt). In anderen Worten: An einer Wendestelle ändert sich das Vorzeichen der Krümmung der Funktion, und genau an der Wendestelle ist die Krümmung gleich null.

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        <![CDATA[Das Krümmungsverhalten einer Funktion]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt dir in diesem Video die Krümmung einer bestimmten Funktion, in welchen Intervallen die Funktion also positiv gekrümmt (linksgekrümmt) bzw. negativ gekrümmt (rechtsgekrümmt) ist. 

Wenn die Funktion positiv gekrümmt ist, dann ist ihre Krümmung größer als null. Die Form der positiven Krümmung sieht wie ein Happy Smiley aus, weil happy = positiv :)
Wenn die Funktion negativ ist, dann ist ihre Krümmung kleiner als null. Die Form der negativen Krümmung sieht wie ein trauriger Smiley aus, weil traurig = negativ 

Bei den Wendestellen einer Funktion ist die Steigung der Funktion genau null. Die Krümmung einer Funktion kannst du dir mithilfe der 2. Ableitung der Funktion berechnen, also:
2. Ableitung einer Funktion = Krümmung der Funktion

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        <![CDATA[Sattelstelle einer Funktion]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video, was eine Sattelstelle (eine Terrassenstelle) bzw. ein Sattelpunkt (ein Terrassenpunkt) überhaupt ist. 

Ein Punkt hat immer eine x- und eine y-Koordinate. Mit einer Stelle ist immer nur eine bestimmte x-Koordinate gemeint. Die x-Koordinate eines Sattelpunkt bzw. Terrassenpunkts ist also gleichzeitig die  Sattelstelle bzw. Terrassenstelle. 

Bei einer Sattelstelle ist die 1. Ableitung und die 2. Ableitung einer Funktion (also die Steigung und Krümmung der Funktion) gleich null. Sie heißt so, weil sie so ähnlich wie ein Sattel bzw. eine Terrasse aussieht. Eine Sattelstelle ist eine spezielle Wendestelle (bei der eben nicht nur die Krümmung, sondern auch die Steigung gleich null ist). Eine Sattelstelle ist aber KEINE Extremstelle (weil die 2. Ableitung bei einer Extremstelle größer oder kleiner als 0 sein muss).

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Funktionstypen: Die Lineare Funktion]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus den Funktionstyp der Linearen Funktion. 

Der Funktionsgraph einer Linearen Funktion ist eine Gerade. Die Funktionsgleichung einer Linearen Funktion lautet: f(x)=k*x+d  , wobei k die Steigung der Gerade ist und der Achsenabschnitt d gibt den Schnittpunkt mit der y-Achse an. Die Gerade schneidet die y-Achse immer im Punkt (0/d). 

Die Steigung k kannst du mithilfe des Steigungsdreiecks berechnen.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Wie sieht eigentlich eine lineare Funktion aus?]]>
      </video:title>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus, wie der Graph einer linearen Funktion aussehen kann. 

Der Funktionsgraph einer linearen Funktion ist immer eine Gerade. Wenn die Steigung k positiv ist, dann ist die Gerade steigend (sie geht "bergauf", von links nach recht gesehen). Wenn die Steigung k negativ ist, dann ist die Gerade fallend (sie geht "bergab" von links nach rechts gesehen). 

Am Achsenabschnitt d kannst du erkennen, in welchem Punkt der Graph die y-Achse schneidet. Er schneidet die y-Achse immer in P=(0/d). Mit d kannst du also den Schnittpunkt mit der y-Achse ablesen.

Wenn das k=0 ist, dann ist die Gerade waagrecht (parallel zur x-Achse). Man spricht dann auch von einer Konstanten Funktion. Wenn das d=0 ist, dann verläuft die Gerade durch den Ursprung. Man spricht dann auch von einer direkten Proportionalitätsfunktion.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Die Lineare Funktion: Berechnen von Steigung k und Achsenabschnitt d]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus, wie du die Steigung k und den Achsenabschnitts d berechnen (nicht ablesen) kannst. 

Das funktioniert wie bei allen anderen Funktionen einfach so, indem du Punkte bzw. Wertepaare, die auf der Linearen Funktion liegen, in die Funktionsgleichung einsetzt. Die Funktionsgleichung lautet: f(x)=k*x+d

Du möchtest die Steigung k und den Achsenabschnitt d berechnen, du hast also 2 Unbekannte. Daher benötigst du 2 Gleichungen, um diese beiden Unbekannten zu berechnen. Du setzt also jeweils die x-Koordinate des Wertepaars für das x in der Funktionsgleichung ein, und die y-Koordinate des Wertepaars für das f(x) in der Funktionsgleichung ein. Wenn du das erhaltene Gleichungssystem löst, dann erhältst du als Lösung das jeweilige k und d.

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        <![CDATA[Die Lineare Funktion: Wirkung von Steigung k und Achsenabschnitt d]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus, wie sich der Graph einer Linearen Funktion verändert, wenn man die Steigung k und den Achsenabschnitts d ändert. 

Wenn man den Achsenabschnitt d (das d) vergrößert, dann wird die Gerade (der Funktionsgraph der linearen Funktion) parallel nach oben verschoben. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist weiter oben. Wenn d verkleinert wird, wird die Gerade nach unten verschoben. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist dann weiter unten.

Wird die Steigung k vergrößert, so ist die Gerade steiler (von links nach rechts gesehen). Wird die Steigung k verkleinert, wird die Gerade immer flacher und "dreht" dann auf fallend, wenn das k kleiner als 0 wird. Wird k noch weiter verkleinert, so geht die Gerade immer steiler "bergab".

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        <![CDATA[Die direkte Proportionalitätsfunktion]]>
      </video:title>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus die direkte Proportionalitätsfunktion. Diese direkte Proportionalitätsfunktion ist eine Spezialform der Linearen Funktion, nämlich dann, wenn der Achsenabschnitt d gleich null ist. Wenn die Lineare Funktion also durch den Ursprung verläuft.
Die Funktionsgleichung lautet: f(x)=k*x

Die direkte Proportionalitätsfunktion lässt sich so beschreiben: Wenn die eine Größe (das x) verdoppelt/verdreifacht/vervierfacht/... wird, so wird auch die andere Größe (das f(x) bzw. y) verdoppelt/verdreifacht/vervierfacht/...

Das ist zum Beispiel im Supermarkt so: Wenn du doppelt so viele Packungen Spaghetti kaufst, musst du doppelt so viel zahlen (Aktionen und Gutscheine ausgenommen hehe).

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        <![CDATA[Lineare Funktion - Das Steigungsdreieck]]>
      </video:title>
      <video:description>
        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video den Begriff Steigungsdreieck, der bei Geraden bzw. bei der Linearen Funktion vorkommt.

Um die Steigung einer Gerade bzw. einer Linearen Funktion graphisch ermitteln und berechnen zu können, muss man ein sogenanntes Steigungsdreieck einzeichnen. Das bedeutet, du suchst dir 2 Punkte, die auf der Geraden liegen, und von denen du die Koordinaten genau ablesen kannst. Dann bildest du ein rechtwinkeliges Dreieck und liest den horizontalen Abstand und den vertikalen Abstand vom einen zum anderen Punkt ab. 

Die Formel für die Steigung k lautet:
k= "delta y" / "delta x"  oder  k= (y2-y1) / (x2-x1)  oder  k= vertikaler Abstand / horizontaler Abstand

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        <![CDATA[Wie sieht der Graph einer linearen Funktion aus?]]>
      </video:title>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus, wie der Graph einer linearen Funktion aussehen kann. 

Der Funktionsgraph einer linearen Funktion ist immer eine Gerade. Wenn die Steigung k positiv ist, dann ist die Gerade steigend (sie geht "bergauf", von links nach recht gesehen). Wenn die Steigung k negativ ist, dann ist die Gerade fallend (sie geht "bergab" von links nach rechts gesehen). 

Am Achsenabschnitt d kannst du erkennen, in welchem Punkt der Graph die y-Achse schneidet. Er schneidet die y-Achse immer in P=(0/d). Mit d kannst du also den Schnittpunkt mit der y-Achse ablesen.

Wenn das k=0 ist, dann ist die Gerade waagrecht (parallel zur x-Achse). Man spricht dann auch von einer Konstanten Funktion. Wenn das d=0 ist, dann verläuft die Gerade durch den Ursprung. Man spricht dann auch von einer direkten Proportionalitätsfunktion.

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        <![CDATA[Funktionsgleichung einer Polynomfunktion]]>
      </video:title>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt unser Tutor Markus, wie die Funktionsgleichung einer Polynomfunktion aussieht bzw. aussehen kann.

Die höchste Potenz, in der die Variable vorkommt, ist der Grad der Polynomfunktion, zum Beispiel:

f(x)=4x^3+3x^2+5  ist eine Polynomfunktion dritten Grades. Meistens stehen die Potenzen von groß nach klein geordnet im Funktionsterm. Das muss aber nicht so sein, ist im Normalfall aber so (weil es einfach übersichtlicher ist).

f(x)= x^5- 2x^3 + x^2 +6  ist eine Polynomfunktion 5. Grades. 
Der Grad der Polynomfunktion ist wichtig, um das (ungefähre) Aussehen des Funktionsgraphen bestimmen zu können, und um die Anzahl der Null-, Extrem- und Wendestellen bestimmen zu können. 

Es gibt bei einer Polynomfunktion vom Grad n immer höchstens n Nullstellen, höchstens n-1 Extremstellen und höchstens n-2 Wendestellen. Diese Regel gilt bei jeder Polynomfunktion. Wie viele Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen es bei der jeweiligen Polynomfunktion genau gibt, hängt vom exakten Aussehen der Polynomfunktion ab.

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        <![CDATA[Der Grad einer Polynomfunktion]]>
      </video:title>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus sinniert in diesem Video über den Grad einer Polynomfunktion. Diesen kannst du ganz easy bestimmen:

Die höchste Potenz, in der die Variable vorkommt, ist der Grad der Polynomfunktion, zum Beispiel:
f(x)=4x^3+3x^2+5  ist eine Polynomfunktion dritten Grades. Meistens stehen die Potenzen von groß nach klein geordnet im Funktionsterm. Das muss aber nicht so sein, ist im Normalfall aber so (weil es einfach übersichtlicher ist).
f(x)= x^5- 2x^3 + x^2 +6  ist eine Polynomfunktion 5. Grades. 
Der Grad der Polynomfunktion ist wichtig, um das (ungefähre) Aussehen des Funktionsgraphen bestimmen zu können, und um die Anzahl der Null-, Extrem- und Wendestellen bestimmen zu können. 

Es gibt bei einer Polynomfunktion vom Grad n immer höchstens n Nullstellen, höchstens n-1 Extremstellen und höchstens n-2 Wendestellen. Diese Regel gilt bei jeder Polynomfunktion. Wie viele Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen es bei der jeweiligen Polynomfunktion genau gibt, hängt vom exakten Aussehen der Polynomfunktion ab.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Funktionstypen: Die Quadratische Funktion]]>
      </video:title>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus den Funktionstyp einer quadratischen Funktion. 

Eine quadratische Funktion kann auch als Polynomfunktion zweiten Grades angesehen werden, da die höchste Potenz, in der x vorkommt, 2 ist. Eine quadratische Funktion hat also diese allgemeine Funktionsgleichung:

f(x)=a*x² + b*x + c

Eine quadratische Funktion ist immer parabelförmig und hat einen Scheitelpunkt. Dieser ist entweder ein Hochpunkt oder Tiefpunkt. Wenn a positiv ist, dann ist die Parabel positiv gekrümmt (nach oben offen), wenn a negativ ist, dann ist die Parabel negativ gekrümmt (nach unten offen). 

Wenn b=0 ist, dann ist die quadratische Funktion symmetrisch zur y-Achse. Es ist sie eine gerade Funktion.

Die Parabel schneidet die y-Achse immer im Punkt (0/c).

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        <![CDATA[Quadratische Funktion und Parabel]]>
      </video:title>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus die Begriffe Quadratische Funktion und Parabel. 

Eine quadratische Funktion kann auch als Polynomfunktion zweiten Grades angesehen werden, da die höchste Potenz, in der x vorkommt, 2 ist. Eine quadratische Funktion hat also diese allgemeine Funktionsgleichung:
f(x)=a*x² + b*x + c

Eine quadratische Funktion ist immer parabelförmig, der Funktionsgraph hat also die Form einer bestimmten Kurve, einer sogenannten Parabel. So eine Parabel hat immer einen Scheitelpunkt. Dieser ist entweder ein Hochpunkt oder Tiefpunkt. Wenn a positiv ist, dann ist die Parabel positiv gekrümmt (nach oben offen), wenn a negativ ist, dann ist die Parabel negativ gekrümmt (nach unten offen). 

Wenn b=0 ist, dann ist die quadratische Funktion symmetrisch zur y-Achse. Dann ist sie eine gerade Funktion.

Die Parabel schneidet die y-Achse immer im Punkt (0/c).

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Anzahl der Null-, Extrem- und Wendestellen einer Polynomfunktion]]>
      </video:title>
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        <![CDATA[Die maximale Anzahl der Null-, Extrem- und Wendestellen einer Polynomfunktion kannst du ganz easy berechnen:

Es gibt bei einer Polynomfunktion vom Grad n immer höchstens n Nullstellen, höchstens n-1 Extremstellen und höchstens n-2 Wendestellen. Diese Regel gilt bei jeder Polynomfunktion. Wie viele Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen es bei der jeweiligen Polynomfunktion genau gibt, hängt vom exakten Aussehen der Polynomfunktion ab.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Typischer Verlauf einer Polynomfunktion dritten Grades]]>
      </video:title>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt dir in diesem Video, wie denn eigentlich der Graph einer Polynomfunktion dritten Grades aussieht.

Diese Frage ist nicht so leicht zu beantworten, denn es gibt viele Möglichkeiten, wie der Graph aussehen kann. Es kommt auf die Anzahl der Null-, Extrem- und Wendestellen an. Und diese Anzahl ist auch bei Polynomfunktionen dritten Grades, je nach genauer Funktionsgleichung, verschieden. 

Den Grad einer Polynomfunktion kannst du ganz easy bestimmen:

Die höchste Potenz, in der die Variable vorkommt, ist der Grad der Polynomfunktion, zum Beispiel:

f(x)=4x^3+3x^2+5  ist eine Polynomfunktion dritten Grades. Meist stehen die Potenzen von groß nach klein geordnet im Funktionsterm. Das muss aber nicht so sein, ist im Normalfall aber so (weil es einfach übersichtlicher ist).

f(x)= x^5- 2x^3 + x^2 +6  ist eine Polynomfunktion 5. Grades. 
Der Grad der Polynomfunktion ist wichtig, um das (ungefähre) Aussehen des Funktionsgraphen bestimmen zu können, und um die Anzahl der Null-, Extrem- und Wendestellen bestimmen zu können. 

Es gibt bei einer Polynomfunktion vom Grad n immer höchstens n Nullstellen, höchstens n-1 Extremstellen und höchstens n-2 Wendestellen. Diese Regel gilt bei jeder Polynomfunktion. Wie viele Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen es bei der jeweiligen Polynomfunktion genau gibt, hängt vom exakten Aussehen der Polynomfunktion ab.

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        <![CDATA[Was ist eigentlich ein Monom, Binom bzw. Polynom?]]>
      </video:title>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus die Begriffe Monom, Binom bzw. Polynom.

Ein Polynom ist die Summe (oder Differenz) von mehreren (mindestens 3) Vielfachen von Potenzen einer Variablen, beispielsweise 3+4x+2x² ist ein Polynom (der Variable x). Der Term 3+4x oder 4x+2x² ist ein Binom (bi steht für 2), weil es eben nur 2 Potenzen sind. Und 3 bzw. 4x bzw. 2x² ist jeweils ein Monom.

Ein Binom ist also ein Polynom mit nur 2 Gliedern bzw. die Summe oder Differenz von 2 Monomen. Man spricht von den Binomischen Formeln, weil bei diesen eben ein Binom quadriert wird. 

Ein Monom ist ein Polynom mit nur 1 Glied. 

Von einem Polynom spricht man, wenn es 3 oder mehr Glieder sind (bis unendlich viele). Wenn es nur 1 Glied oder 2 Glieder sind, dann ist es auch ein Polynom, man sagt aber genauer Monom oder Binom dazu. Bei 3 Gliedern spricht man auch von einem Trinom. Die Variable ist meistens x, kann aber auch ein anderer Buchstabe sein, beispielsweise a. 
Dann ist 
5a³+6a²-3a+10  ein Polynom (der Variablen a) und jedes einzelne Glied ist ein Monom.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Potenzfunktion und Wurzelfunktion]]>
      </video:title>
      <video:description>
        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus die Begriffe Potenzfunktion und Wurzelfunktion. 

Eine Potenzfunktion ist eine Funktion mit dieser Funktionsgleichung:
f(x)= a * x^z +b
wobei z eine ganze Zahl ist. Bei manchen Definitionen muss das b null sein, damit es eine Potenzfunktion ist (bei b=0 ist die Funktion nicht nach oben bzw, unten "verschoben", der Graph geht durch den Ursprung). 

Bei der (klassischen) Wurzelfunktion ist die Hochzahl z die Bruchzahl 1/2. Es kann aber auch eine andere Bruchzahl sein. Jede Wurzelfunktion sieht dann "so ähnlich aus" wie die klassische Wurzelfunktion  f(x)= a * "Wurzel aus x"

Eine Potenzfunktion kann ganz unterschiedliche Funktionsgraphen haben, je nachdem, welche Hochzahl die Potenz hat. Allerdings sind die markanten Stellen (Extremstellen, Wendestellen, Polstellen) immer auf der y-Achse, da die Potenzfunktion im Normalfall nicht nach links oder rechts "verschoben" wird.

Eine Potenzfunktion mit gerader Hochzahl (egal ob positiv oder negativ) ist außerdem immer eine gerade Funktion, d.h. sie ist symmetrisch zur y-Achse. 

Eine Potenzfunktion mit der Hochzahl 2 ist eine quadratische Funktion und parabelförmig.

Eine Potenzfunktion mit ungerader Hochzahl ist eine ungerade Funktion, d.h. symmetrisch zum Ursprung, wenn sie nicht nach oben bzw. unten verschoben wurde (wenn sie durch den Ursprung verläuft).

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        <![CDATA[Wie sieht der Graph einer Potenzfunktion aus?]]>
      </video:title>
      <video:description>
        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus, wie der Graph einer Potenzfunktion aussehen könnte. 

Eine Potenzfunktion kann ganz unterschiedliche Funktionsgraphen haben, je nachdem, welche Hochzahl die Potenz hat. Allerdings sind die markanten Stellen (Extremstellen, Wendestellen, Polstellen) immer auf der y-Achse, da die Potenzfunktion im Normalfall nicht nach links oder rechts "verschoben" ist.

Eine Potenzfunktion mit gerader Hochzahl (egal ob positiv oder negativ) ist außerdem immer eine gerade Funktion, d.h. sie ist symmetrisch zur y-Achse. 

Eine Potenzfunktion mit der Hochzahl 2 ist eine quadratische Funktion und parabelförmig.

Eine Potenzfunktion mit ungerader Hochzahl ist eine ungerade Funktion, d.h. symmetrisch zum Ursprung, wenn sie nicht nach oben bzw. unten verschoben wurde (wenn sie durch den Ursprung verläuft).

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Die mathematischen Begriffe Potenz, Basis und Exponent]]>
      </video:title>
      <video:description>
        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video die Begriffe Potenz, Basis und Exponent, die oft zusammen vorkommen. 

Beim Term x^3  ist der gesamte Term (also x^3) die Potenz, x ist die Basis und 3 ist der Exponent. Ein anderes Wort für Exponent ist einfach "die Hochzahl". Die Variable steht bei einer Exponentialfunktion in der Hochzahl (also im Exponenten). Deswegen heißt die Exponentialfunktion dann eben auch Exponentialfunktion :)

Beim Term 4^x  ist 4^x die Potenz, 4 ist die Basis und x der Exponent.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Wurzeln als Potenzen mit rationalen Hochzahlen]]>
      </video:title>
      <video:description>
        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video, was das Wurzel ziehen überhaupt ist und wie man Wurzeln auch als Hochzahlen mit rationalem Exponenten schreiben kann.

Das Wurzel ziehen ist die Umkehrung des Potenzierens. Beispielsweise:
3^3 = 27  , und es gilt natürlich auch nach Umformung:  "Die dritte Wurzel aus 27 = 3" oder 
2^6 = 64  , und es gilt natürlich auch nach Umformung:  "Die sechste Wurzel aus 64 = 2"

Die dritte Wurzel nennt man auch Kubikwurzel. Bei der "zweiten" Wurzel sagt man normalerweise nur Wurzel oder Quadratwurzel, und den 2er bei der Wurzel schreibt man auch nicht. 

Du kannst Wurzeln auch als Potenzen mit rationalem Exponenten (rationaler Hochzahl) schreiben.
"Die b-te Wurzel aus x hoch a" = x^(a/b)

Die Formeln für das Wurzel ziehen sind nicht so schwierig und kommen immer wieder vor. Also am besten auswendig lernen :)
Für alle anderen: Einfach in der Formelsammlung deiner Wahl (am besten in der Miranda Formelsammlung) die Formel nachschlagen :)

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        <![CDATA[Funktionstypen: Die Exponentialfunktion]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video den Funktionstyp "Exponentialfunktion". Bei einer Exponentialfunktion nimmt eine bestimmte Größe - z.B: die Bevölkerungszahl oder eine Bakterienanzahl - in einem bestimmten Zeitraum um einen gewissen Prozentsatz des aktuellen Wertes zu oder ab. Im Gegensatz dazu ist bei einer Linearen Funktion die Änderung konstant und unabhängig vom aktuellen Wert.

Wichtige Größen bei einer Exponentialfunktion sind der Wachstums- bzw. Abnahmefaktor und die Halbwertszeit bzw. die Verdoppelungszeit. 

Man kann die Exponentialfunktion mit der Eulerschen Zahl e darzustellen, also f(x)=a*e^(k*x). Das k (oft auch mit lambda bezeichnet) ist dabei die sogenannte Wachstums- bzw. Zerfallskonstante.

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        <![CDATA[Wie sieht eigentlich eine Exponentialfunktion aus?]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video, wie der Graph einer Exponentialfunktion aussieht.

Bei einer Exponentialfunktion nimmt eine bestimmte Größe - z.B: die Bevölkerungszahl oder eine Bakterienanzahl - in einem bestimmten Zeitraum um einen gewissen Prozentsatz des aktuellen Wertes zu oder ab. Im Gegensatz dazu ist bei einer Linearen Funktion die Änderung konstant und unabhängig vom aktuellen Wert.

Wichtige Größen bei einer Exponentialfunktion sind der Wachstums- bzw. Abnahmefaktor und die Halbwertszeit bzw. die Verdoppelungszeit. 

Man kann die Exponentialfunktion mit der Eulerschen Zahl e darzustellen, also f(x)=a*e^(k*x). Das k (oft auch mit lambda bezeichnet) ist dabei die sogenannte Wachstums- bzw. Zerfallskonstante.

Der Graph einer Exponentialfunktion ist entweder immer streng monoton steigend (Exponentielles Wachstum) oder streng monoton fallend (Exponentieller Zerfall). Der Graph der Exponentialfunktion nähert sich im Unendlichen der x-Achse an. Die x-Achse bzw. die Gerade f(x)=0 ist also eine Asymptote der Exponentialfunktion. 

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        <![CDATA[Die Exponentialfunktion in Tabellenform]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video die Exponentialfunktion in Tabellenform. 

Bei einer Exponentialfunktion nimmt eine bestimmte Größe - z.B: die Bevölkerungszahl oder eine Bakterienanzahl - in einem bestimmten Zeitraum um einen gewissen Prozentsatz des akutellen Wertes zu oder ab. Im Gegensatz dazu ist bei einer Linearen Funktion die Änderung konstant und unabhänig vom aktuellen Wert.

Wichtige Größen bei einer Exponentialfunktion sind der Wachstums- bzw. Abnahmefaktor und die Halbwertszeit bzw. die Verdoppelungszeit. 

Man kann die Exponentialfunktion mit der Eulerschen Zahl e darzustellen, also f(x)=a*e^(k*x). Das k (oft auch mit lambda bezeichnet) ist dabei die sogenannte Wachstums- bzw. Zerfallskonstante.

Bei der Tabelle nimmt die linke Seite (das x) immer um die Zahl 1 zu. Gleichzeitig nimmt die rechte Seite (das f(x) bzw. y) um den sogenannten Wachstumsfaktor zu bzw. um den sogenannten Abnahmefaktor ab. Während man links (bei x) immer addiert, multipliziert man auf der rechten Seite (bei f(x) bzw. y).

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        <![CDATA[Exponentialfunktion - Halbwertszeit und Verdoppelungszeit]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt dir in diesem Video die sogenannte Halbwertszeit und die sogenannte Verdoppelungszeit. Diese kommen nur in Zusammenhang mit der Exponentialfunktion vor. 

Bei einer Exponentialfunktion nimmt eine bestimmte Größe - z.B: die Bevölkerungszahl oder eine Bakterienanzahl, usw. - in einem bestimmten Zeitraum um einen gewissen Prozentsatz zu oder ab. Im Gegensatz zur Linearen Funktion, bei der eine Größe immer um denselben Wert (also um dieselbe Zahl) zu- oder abnimmt.

Die Halbwertszeit ist diejenige Zeitspanne, in der die jeweilige Größe auf die Hälfte des vorherigen Werts abgenommen hat. Also die Zeit, nach der die Größe nur noch den "halben Wert" hat. 
Die Verdoppelungszeit ist diejenige Zeitspanne, in der sich die jeweilige Größe verdoppelt hat. 

Andere wichtige Größen bei einer Exponentialfunktion sind unter anderem der Wachstums- bzw. Abnahmefaktor.

Es ist auch möglich, die Exponentialfunktion mit der Eulerschen Zahl e darzustellen, also 

f(x)=a*e^(k*x)

Das k (oft auch mit lambda bezeichnet) ist dabei die sogenannte Wachstums- bzw. Zerfallskonstante.

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        <![CDATA[Wie berechnet man die Halbwertszeit?]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt dir in diesem Video, wie du die Halbwertszeit bei einer Exponentialfunktion berechnen kannst. Diese kommt nur in Zusammenhang mit der Exponentialfunktion vor. 

Bei einer Exponentialfunktion nimmt eine bestimmte Größe - z.B: die Bevölkerungszahl oder eine Bakterienanzahl, usw. - in einem bestimmten Zeitraum um einen gewissen Prozentsatz zu oder ab. Im Gegensatz zur Linearen Funktion, bei der eine Größe immer um denselben Wert (also um dieselbe Zahl) zu- oder abnimmt.

Die Halbwertszeit ist diejenige Zeitspanne, in der die jeweilige Größe auf die Hälfte des vorherigen Werts abgenommen hat. Also die Zeit, nach der die Größe nur noch den "halben Wert" hat.  

Bei einer Exponentialfunktion hat man ja immer die allgemeine Funktionsgleichung
f(x)= a * b^x
Das "a" ist der Anfangs- bzw. Startwert, und das "b" ist der Abnahmefaktor (bei einer exponentiellen Abnahme bzw. bei exponentiellem Zerfall). 
a und b kann man irgendwie aus der Angabe rausfinden, dann erhält man beispielsweise die Funktionsgleichung
f(x)= 500 * 0,924^x
Um die Halbwertszeit zu berechnen, musst du jetzt für f(x) die Hälfte das Anfangswerts einsetzen, also in diesem Fall 250. Die Gleichung
250= 500 * 0,924^x  kannst du dann lösen (händisch oder mit dem Rechner) und das erhaltene x ist die Halbwertszeit.

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        <![CDATA[Exponentialfunktion - Wachstumsfaktor und Abnahmefaktor]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video den Wachstumsfaktor bzw. Abnahmefaktor bei einer Exponentialfunktion. 

Bei einer Exponentialfunktion nimmt eine bestimmte Größe - z.B: die Bevölkerungszahl oder eine Bakterienanzahl - in einem bestimmten Zeitraum um einen gewissen Prozentsatz des aktuellen Wertes zu oder ab. Im Gegensatz dazu ist bei einer Linearen Funktion die Änderung konstant und unabhängig vom aktuellen Wert.

Wenn eine Exponentialfunktion in der Form  f(x)= a*b^x  dargestellt wird, dann ist das b der sogenannte Wachstums- bzw. Abnahmefaktor. Wachstumsfaktor bei einer steigenden Exponentialfunktion, Abnahmefaktor bei einer fallenden Exponentialfunktion. 

Mit dem Prozentsatz, um den die jeweilige Größe (in einem bestimmten Intervall) zu- oder abnimmt, kann man den Wachstumsfaktor bestimmen. Nimmt die Größe um 25% pro Tag zu, so ist der Wachstumsfaktor 1,25. Nimmt sie um 25% ab, so ist der Abnahmefaktor 0,75.

Man kann die Exponentialfunktion mit der Eulerschen Zahl e darzustellen, also f(x)=a*e^(k*x). Das k (oft auch mit lambda bezeichnet) ist dabei die sogenannte Wachstums- bzw. Zerfallskonstante.

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        <![CDATA[Exponentialfunktion - Wachstumskonstante und Zerfallskonstante]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video die Wachstumskonstante bzw. Zerfallskonstante bei einer Exponentialfunktion. 

Bei einer Exponentialfunktion nimmt eine bestimmte Größe - z.B: die Bevölkerungszahl oder eine Bakterienanzahl - in einem bestimmten Zeitraum um einen gewissen Prozentsatz des aktuellen Wertes zu oder ab. Im Gegensatz dazu ist bei einer Linearen Funktion die Änderung konstant und unabhängig vom aktuellen Wert.

Wenn eine Exponentialfunktion mit der Eulerschen Zahl e in der Form  f(x)= a* e^(k*x)  dargestellt wird, dann ist das k die sogenannte Wachstums- bzw. Zerfallskonstante. Wachstumskonstante bei einer steigenden Exponentialfunktion, Zerfallskonstante bei einer fallenden Exponentialfunktion. Bei Wachstum ist das k positiv, bei Abnahme (Zerfall) ist das k negativ. Das k wird oft auch mit dem griechischen Buchstaben lambda bezeichnet.

Wenn eine Exponentialfunktion in der Form  f(x)= a*b^x  dargestellt wird, dann ist das b der sogenannte Wachstums- bzw. Abnahmefaktor. Wachstumsfaktor bei einer steigenden Exponentialfunktion, Abnahmefaktor bei einer fallenden Exponentialfunktion. 

Mit dem Prozentsatz, um den die jeweilige Größe (in einem bestimmten Intervall) zu- oder abnimmt, kann man den Wachstumsfaktor bestimmen. Nimmt die Größe um 25% pro Tag zu, so ist der Wachstumsfaktor 1,25. Nimmt sie um 25% ab, so ist der Abnahmefaktor 0,75.

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        <![CDATA[Die mathematischen Begriffe Potenz, Basis und Exponent]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video die Begriffe Potenz, Basis und Exponent, die oft zusammen vorkommen. 

Beim Term x^3  ist der gesamte Term (also x^3) die Potenz, x ist die Basis und 3 ist der Exponent. Ein anderes Wort für Exponent ist einfach "die Hochzahl". Die Variable steht bei einer Exponentialfunktion in der Hochzahl (also im Exponenten). Deswegen heißt die Exponentialfunktion dann eben auch Exponentialfunktion :)

Beim Term 4^x  ist 4^x die Potenz, 4 ist die Basis und x der Exponent.

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        <![CDATA[Funktionstypen: Die Sinusfunktion]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video den Funktionstyp der Sinusfunktion. 

Die allgemeine Funktionsgleichung der Sinusfunktion lautet:
f(x) = a*sin(b*x)

Dabei ist das a die Amplitude der Sinusfunktion, das b ist die sogenannte Kreisfrequenz. 
Die Sinusfunktion ist eine periodische Funktion, sie ist also immer wiederkehrend. Jede Sinusfunktion hat eine (kleinste) Periode, andere Bezeichnungen für die kleinste Periode sind Schwingungsdauer bzw. Periodenlänge. Zu all diesen Begriffen gibt es auf Miranda eigene Videos. 

Eine Sinusfunktion hat unendlich viele Nullstellen, unendlich viele Extremstellen und unendlich viele Wendestellen, weil sie ja periodisch ist. 

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        <![CDATA[Sinusfunktion: Die (kleinste) Periode]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video die (kleinste) Periode einer Sinusfunktion. Eine Periode gibt es übrigens auch bei allen anderen periodischen Funktion (z.B. Cosinus- oder Tangens-Funktion). 

Für eine Periode k gilt: f(x)=f(x+k)

Wenn man also um die Periode k auf der x-Achse "weiter nach rechts wandert", dann ist der Funktionswert an dieser Stelle x+k genau so groß wie an der Stelle x. Dort ist die Funktion also sozusagen "wieder am Ausgangspunkt". Wenn dies für jeden x-Wert erfüllt wird, ist k eine Periode. Die kleinste Periode ist das kleinste k, für das diese Bedingung gilt.

Jedes ganzzahlige Vielfache der kleinsten Periode ist auch eine Periode der Funktion.

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        <![CDATA[Sinusfunktion: Die Amplitude]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video den Begriff Amplitude, der vor allem bei der Sinus- bzw. Cosinusfunktion vorkommt. Natürlich auch in der Physik, aber das ist uns in diesem Video egal 😂

Die Amplitude ist die höchste Auslenkung des Funktionsgraphen, also der größte (senkrechte) Abstand des Funktionsgraphen von der "Null-Linie" (meistens die x-Achse). 
Bei der Funktionsgleichung der allgemeinen Sinus-Funktion  f(x)= a* sin(b*x) ist das a die Amplitude. 
Du kannst sie meistens relativ einfach direkt vom Funktionsgraphen ablesen oder auch berechnen:  
a = (Maximum minus Minimum) / 2

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        <![CDATA[Sinusfunktion: Frequenz und Kreisfrequenz]]>
      </video:title>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video die Begriffe Frequenz und Kreisfrequenz, die vor allem bei der Sinus- bzw. Cosinusfunktion vorkommen. Natürlich auch in der Physik, aber das ist uns in diesem Video egal 😂

Die Frequenz einer Sinus- bzw. Cosinusfunktion ist die Anzahl der Schwingungen innerhalb einer Sekunde, also die Anzahl der ganzen Schwingungen zwischen 0 und 1. 

Die Kreisfrequenz einer Sinus- bzw. Cosinusfunktion ist die Anzahl der Schwingungen innerhalb von 2 pi Sekunden (2π Sekunden), also die Anzahl der ganzen Schwingungen zwischen 0 und 2π. Diese Kreisfrequenz ist das b in der Funktionsgleichung der allgemeinen Sinusfunktion  f(x) = a * sin(b*x)

Du kannst sie entweder direkt aus dem Funktionsgraphen ablesen (wieviele Schwingungen gibt es zwischen 0 und 2π), oder mit der Formel für die Schwingungsdauer T berechnen. 
T= 2π / b
Wenn du die Anzahl der Schwingungen nicht genau ablesen kannst, dann kannst du auf jeden Fall die Schwingungsdauer T (wie lange dauert eine ganze Schwingung) ablesen.

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        <![CDATA[Bestimmen der Kreisfrequenz b mit dem Funktionsgraphen der Sinusfunktion]]>
      </video:title>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video, wie du die Kreisfrequenz (normalerweise b) aus dem Funktionsgraphen der Sinusfunktion ablesen kannst.

Die Frequenz einer Sinus- bzw. Cosinusfunktion ist die Anzahl der Schwingungen innerhalb einer Sekunde, also die Anzahl der ganzen Schwingungen zwischen 0 und 1. 

Die Kreisfrequenz einer Sinus- bzw. Cosinusfunktion ist die Anzahl der Schwingungen innerhalb von 2 pi Sekunden (2π Sekunden), also die Anzahl der ganzen Schwingungen zwischen 0 und 2π. Diese Kreisfrequenz ist das b in der Funktionsgleichung der allgemeinen Sinusfunktion  f(x) = a * sin(b*x)

Du kannst sie entweder direkt aus dem Funktionsgraphen ablesen (wieviele Schwingungen gibt es zwischen 0 und 2π), oder mit der Formel für die Schwingungsdauer T (bzw. Periodenlänge oder kleinste Periode, ist alles dasselbe) berechnen. 
T= 2π / b
Wenn du die Anzahl der Schwingungen nicht genau ablesen kannst, dann kannst du auf jeden Fall die Schwingungsdauer T bzw. die Periodenlänge (wie lange dauert eine ganze Schwingung) ablesen.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[(Kleinste) Periode, Schwingungsdauer und Periodenlänge einer Sinusfunktion]]>
      </video:title>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video die Begriffe (kleinste) Periode, Schwingungsdauer und Periodenlänge, die vor allem bei der Sinus- bzw. Cosinusfunktion vorkommen. Natürlich auch in der Physik, aber das ist uns in diesem Video egal 😂

Die kleinste Periode, die Schwingungsdauer und die Periodenlänge sind 3 verschiedene Bezeichnungen für ein und dasselbe, nämlich "wie lange dauert eine ganze Schwingung", bzw. "von welcher Stelle zu welcher Stelle ist eine ganze Schwingung". 

Du kannst sie oft direkt aus dem Funktionsgraphen ablesen (wie  lange dauert eine ganze Schwingung bzw. wie groß ist der waagrechte Abstand von Minimum bis zum nächsten Minimum oder wie groß ist der waagrechte Abstand von Maximum bis zum nächsten Maximum. 
Mit der Formel für die Schwingungsdauer T kannst du dir dann die Kreisfrequenz b der Sinusfunktion f(x)=a*sin(b*x) berechnen. 
T= 2π / b

Jedes ganzzahlige Vielfache der kleinsten Periode ist ebenfalls eine Periode der Sinus- bzw. Cosinusfunktion. 

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        <![CDATA[Zusammenhang zwischen Sinus- und Cosinusfunktion]]>
      </video:title>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video den Zusammenhang zwischen Sinus- und Cosinusfunktion. 

Die allgemeine Funktionsgleichung der Sinusfunktion lautet:
f(x) = a*sin(b*x)

Dabei ist das a die Amplitude der Sinusfunktion, das b ist die sogenannte Kreisfrequenz. 
Die Sinusfunktion ist eine periodische Funktion, sie ist also immer wiederkehrend. Periodisch bedeutet, dass der Funktionswert an der Stelle x+k genauso groß ist wie an der Stelle x (also f(x+k)=f(x) ,  k ist dann die Periode).
Jede Sinusfunktion hat eine (kleinste) Periode, andere Bezeichnungen für die kleinste Periode sind Schwingungsdauer bzw. Periodenlänge. Zu all diesen Begriffen gibt es auf Miranda eigene Videos. 

Eine Sinusfunktion hat unendlich viele Nullstellen, unendlich viele Extremstellen und unendlich viele Wendestellen, weil sie ja periodisch ist. 

Die Cosinusfunktion hat ebenfalls unendlich viele Nullstellen, unendlich viele Extremstellen und unendlich viele Wendestellen, weil sie ja periodisch ist. 

Die Cosinusfunktion ist im Vergleich zur Sinusfunktion um pi/2 nach links verschoben (bzw. um 3pi/2 nach rechts verschoben). Wenn du als den gesamten Funktionsgraphen der Sinusfunktion f(x)=sin(x) nach links verschiebst, dann "erhältst" du die Cosinusfunktion f(x)=cos(x). Diese Verschiebung um pi/2 nach links kann man auch in der Funktionsgleichung darstellen. 
f(x)= sin(x+pi/2)  ist auch die Cosinusfunktion, also:
cos(x)= sin(x+pi/2)
oder noch allgemeiner:
a*cos(b*x)=a*sin(b*x+pi/2)

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        <![CDATA[Der Differenzenquotient]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus den Differenzenquotienten (einer Funktion f in einem bestimmten Intervall [a, b] )

Der Differenzenquotient gibt an, wie sich die jeweilige Funktion (bzw. der jeweilige Funktionswert) im gegebenen Intervall DURCHSCHNITTLICH pro x-Einheit ändert. 

Nehmen wir an, dass wir die Funktion der Temperatur an einem bestimmten Tag gegeben haben und t=0 ist Mitternacht. Dann wäre der Differenzenquotient im Intervall [6, 10] die DURCHSCHNITTLICHE Temperaturänderung pro Stunde zwischen 6 und 10 Uhr morgens (um wieviel also die Temperatur durchschnittlich pro Stunde gestiegen oder gefallen ist in diesem Zeitraum). 

Für den Differenzenquotienten gibt es auch noch einige andere Ausdrücke (Synonyme). Mit all diesen Synonymen ist der Differenzenquotient gemeint:

Die Formel für den Differenzenquotienten im Intervall [a, b] :  ( f(b) - f(a) ) / (b-a)
Die Steigung der Sekante durch diese beiden Punkte (die an diesen beiden Stellen a und b sind)
Die durchschnittliche Steigung der Funktion f zwischen diesen beiden Stellen
Die durchschnittliche Steigung der Funktion f zwischen diesen beiden Punkten
Die mittlere Änderungsrate von f im Intervall [a, b]

Mit all diesen verschiedenen Ausdrücken ist ein- und dasselbe gemeint. Wenn eines dieser Ausdrücke gefragt ist, musst du also den Differenzenquotienten im Intervall [a, b] berechnen.

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        <![CDATA[Andere Ausdrücke für den Differenzenquotienten]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus die verschiedenen Synonyme (andere Ausdrücke) für den Differenzenquotienten.

Der Differenzenquotient in einem bestimmten Intervall [a, b] ist dasselbe wie:

Die Formel für den Differenzenquotienten im Intervall [a, b] :  ( f(b) - f(a) ) / (b-a)
Die Steigung der Sekante durch diese beiden Punkte (die an diesen beiden Stellen a und b sind)
Die durchschnittliche Steigung der Funktion f zwischen diesen beiden Stellen
Die durchschnittliche Steigung der Funktion f zwischen diesen beiden Punkten
Die mittlere Änderungsrate von f im Intervall [a, b]

Mit all diesen verschiedenen Ausdrücken ist ein- und dasselbe gemeint. Wenn eines dieser Ausdrücke gefragt ist, musst du also den Differenzenquotienten im Intervall [a, b] berechnen.

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        <![CDATA[Der Differentialquotient]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus den Differentialquotienten (einer Funktion f an einer bestimmten Stelle x). Manchmal wird der Differentialquotient auch mit z statt t geschrieben: Differenzialquotient.

Der Differentialquotient gibt an, wie sich die jeweilige Funktion (bzw. der jeweilige Funktionswert) an genau dieser Stelle ändert. 

Nehmen wir an, dass wir die Funktion der Temperatur einer Flüssigkeit bei einem bestimmten chemischen Experiment gegeben haben und bei t=0 ist der Start des Experiments und t wird in Sekunden gemessen. Dann wäre der Differentialquotient an der Stelle 10 die Temperaturänderung der Flüssigkeit GENAU an Sekunde 10 bzw. genau 10 Sekunden nach dem Start (um wieviel also die Temperatur genau zu diesem Zeitpunkt steigt bzw. sinkt). 

Für den Differentialquotienten (an einer bestimmten Stelle) gibt es auch noch einige andere Ausdrücke (Synonyme). Mit all diesen Synonymen ist der Differentialquotient gemeint:

Die 1. Ableitung der Funktion f an dieser Stelle, also f'(x)
Die Steigung der Tangente an dieser Stelle
Die Steigung der Tangente, die durch diesen Punkt verläuft
Die Steigung der Funktion f an dieser Stelle
Die Steigung der Funktion f in diesem Punkt
Die momentane Änderungsrate an dieser Stelle
Die lokale Änderungsrate an dieser Stelle (selten, wenn x die Variable ist)

Mit all diesen verschiedenen Ausdrücken ist ein- und dasselbe gemeint. Wenn eines dieser Ausdrücke gefragt ist, musst du also die 1. Ableitung an dieser Stelle bzw. f'(x) berechnen.

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        <![CDATA[Andere Ausdrücke für den Differentialquotienten]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus die verschiedenen Synonyme (andere Ausdrücke) für den Differentialquotienten.

Der Differentialquotient an einer bestimmten Stelle ist dasselbe wie:

Die 1. Ableitung der Funktion f an dieser Stelle, also f'(x)
Die Steigung der Tangente an dieser Stelle
Die Steigung der Tangente, die durch diesen Punkt verläuft
Die Steigung der Funktion f an dieser Stelle
Die Steigung der Funktion f in diesem Punkt
Die momentane Änderungsrate an dieser Stelle
Die lokale Änderungsrate an dieser Stelle (selten, wenn x die Variable ist)

Mit all diesen verschiedenen Ausdrücken ist ein- und dasselbe gemeint. Wenn eines dieser Ausdrücke gefragt ist, musst du also die 1. Ableitung an dieser Stelle bzw. f'(x) berechnen.

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        <![CDATA[Die wichtigsten Ableitungsregeln einfach erklärt]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video die Regeln für das Differenzieren (Ableitungsregeln). Die wichtigsten Regeln stehen in jeder Formelsammlung, natürlich auch in der Miranda-Formelsammlung.

Einige Regeln (beispielsweise die "Hochzahl-Regel" oder Potenzregel), die Summenregel oder die  Faktorregel solltest du auswendig beherrschen. Einige Taschenrechner können differenzieren (ableiten), allerdings ist es gut und wichtig, wenn du es auch "händisch" beherrschst. 

Die 1. Ableitung einer Funktion ist immer auch die Steigung der Funktion, die 2. Ableitung einer Funktion ist immer auch die Krümmung der Funktion.

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        <![CDATA[Regeln für das Differenzieren]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video die Regeln für das Differenzieren (Ableitungsregeln). Die wichtigsten Regeln stehen in jeder Formelsammlung, natürlich auch in der Miranda-Formelsammlung.

Einige Regeln (beispielsweise die "Hochzahl-Regel" oder Potenzregel), die Summenregel oder die  Faktorregel solltest du auswendig beherrschen. Einige Taschenrechner können differenzieren (ableiten), allerdings ist es gut und wichtig, wenn du es auch "händisch" beherrschst. 

Die 1. Ableitung einer Funktion ist immer auch die Steigung der Funktion, die 2. Ableitung einer Funktion ist immer auch die Krümmung der Funktion.

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        <![CDATA[Die wichtigsten Integrationsregeln einfach erklärt]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video die Regeln für das Integrieren. Die wichtigsten Regeln stehen in jeder Formelsammlung, natürlich auch in der Miranda-Formelsammlung.

Einige Regeln, beispielsweise die "Hochzahl-Regel" oder Potenzregel, die Summenregel oder auch die Faktorregel solltest du auswendig beherrschen. Einige Taschenrechner können integrieren, allerdings ist es gut und wichtig, wenn du es auch "händisch" beherrschst. 

Beim unbestimmten Integral (Integral ohne Grenzen) kommt immer eine Stammfunktion der Funktion heraus und du darfst nicht auf die Integrationskonstante c vergessen.

Beim bestimmten Integral (Integral mit Grenzen) kommt immer eine Zahl heraus. Diese ist (oft, aber nicht immer) gleichbedeutend mit dem Flächeninhalt zwischen Funktionsgraph und der x-Achse (zwischen den beiden Grenzen).

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        <![CDATA[Regeln für das Integrieren]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video die Regeln für das Integrieren. Die wichtigsten Regeln stehen in jeder Formelsammlung, natürlich auch in der Miranda-Formelsammlung.

Einige Regeln, beispielsweise die "Hochzahl-Regel" oder Potenzregel, die Summenregel oder auch die Faktorregel solltest du auswendig beherrschen. Einige Taschenrechner können integrieren, allerdings ist es gut und wichtig, wenn du es auch "händisch" beherrschst. 

Beim unbestimmten Integral (Integral ohne Grenzen) kommt immer eine Stammfunktion der Funktion heraus und du darfst nicht auf die Integrationskonstante c vergessen.

Beim bestimmten Integral (Integral mit Grenzen) kommt immer eine Zahl heraus. Diese ist (oft, aber nicht immer) gleichbedeutend mit dem Flächeninhalt zwischen Funktionsgraph und der x-Achse (zwischen den beiden Grenzen).

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        <![CDATA[Integralrechnung - Ober- und Untersumme]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video die sogenannte Ober- und Untersumme, die oft in Verbindung mit dem (bestimmten) Integral vorkommt. 

Beim bestimmten Integral (Integral mit Grenzen) kommt immer eine Zahl heraus. Wenn die Fläche zwischen Funktionsgraph und x-Achse zur Gänze oberhalb der x-Achse ist, dann ist das bestimmte Integral genau gleich groß wie der Flächeninhalt zwischen Funktionsgraph und x-Achse innerhalb der beiden Grenzen. 

Die Obersumme und die Untersumme sind Näherungen für diesen exakten Flächeninhalt, den man mit dem bestimmten Integral berechnet. Die Untersumme wird dabei von mehreren gleich breiten Rechtecken gebildet, die alle unterhalb des Funktionsgraphen sind und bis zur x-Achse reichen. Die Untersumme ist die Summe der Flächeninhalte dieser Rechtecke. 

Die Obersumme wird von mehreren gleich breiten Rechtecken gebildet, die alle oberhalb des Funktionsgraphen sind und bis zur x-Achse reichen. Die Obersumme ist die Summe der Flächeninhalte dieser Rechtecke. 

Der exakte Flächeninhalt liegt immer zwischen Obersumme und Untersumme. Wenn man die Anzahl der Rechtecke bei Ober- bzw. Untersumme vergrößert (also die Breite der Rechtecke verkleinert), so nähert sich die Unter- bzw. Obersumme immer näher dem exakten Flächeninhalt an. Der exakte Flächeninhalt ist dann der Grenzwert der Ober- bzw. Untersumme, wenn die Breite der Rechtecke unendlich klein wird, also gegen 0 geht. Dieser Grenzwert ist dann genau das bestimmte Integral, mit dem man eben den Flächeninhalt exakt berechnen kann. 

Viele Taschenrechner (so auch unser Miranda-Taschenrechner) können das bestimmte Integral berechnen. Das bestimmte Integral kann auch mit der Obersumme und der Untersumme angenähert werden.

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        <![CDATA[Bestimmtes und Unbestimmtes Integral]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video das bestimmte Integral (Integral mit Grenzen) und das unbestimmte Integral (Integral ohne Grenzen). 

Beim bestimmten Integral (Integral mit Grenzen) einer bestimmten Funktion kommt immer eine Zahl heraus. Diese ist (oft, aber nicht immer) gleichbedeutend mit dem Flächeninhalt zwischen Funktionsgraph und der x-Achse (zwischen den beiden Grenzen). Genaueres wird im Video erklärt :)
Wenn die Fläche zwischen Funktionsgraph und x-Achse zur Gänze oberhalb der x-Achse ist, ist das bestimmte Integral gleich groß wie der Flächeninhalt zwischen Funktionsgraph und x-Achse innerhalb der beiden Grenzen. 

Viele Taschenrechner (so auch unser Miranda-Taschenrechner) können das bestimmte Integral berechnen. Das bestimmte Integral kann auch mit der Obersumme und der Untersumme angenähert werden.

Mit dem Unbestimmten Integral (Integral ohne Grenzen) einer bestimmten Funktion f erhält man eine Stammfunktion F der jeweiligen Funktion. Es gibt für eine bestimmte Funktion immer unendlich viele Stammfunktionen, die sich nur durch die Integrationskonstante c (die additive Konstante) unterscheiden.

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        <![CDATA[Die Integrationskonstante]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video die Integrationskonstante. 

Beim sogenannten unbestimmten Integral (Integral ohne Grenzen) kommt immer eine Stammfunktion der Funktion heraus und du darfst nicht auf die Integrationskonstante c vergessen (am Ende der Stammfunktion "plus c" dazuschreiben). Diese Integrationskonstante wird auch als additive Konstante (weil sie ja dazu addiert wird) bezeichnet. 

Diese Integrationskonstante ist der "Startwert" oder "Anfangswert" der jeweils erhaltenen Stammfunktion. Diese musst du dir bei vielen Aufgaben mit den in der Angabe stehenden Bedingungen berechnen.

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        <![CDATA[Das bestimmte Integral]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video das bestimmte Integral (Integral mit Grenzen). 

Beim bestimmten Integral (Integral mit Grenzen) kommt immer eine Zahl heraus. Diese ist (oft, aber nicht immer) gleichbedeutend mit dem Flächeninhalt zwischen Funktionsgraph und der x-Achse (zwischen den beiden Grenzen). Genaueres wird im Video erklärt :)
Wenn die Fläche zwischen Funktionsgraph und x-Achse zur Gänze oberhalb der x-Achse ist, ist das bestimmte Integral gleich groß wie der Flächeninhalt zwischen Funktionsgraph und x-Achse innerhalb der beiden Grenzen. 

Viele Taschenrechner (so auch unser Miranda-Taschenrechner) können das bestimmte Integral berechnen. Das bestimmte Integral kann auch mit der Obersumme und der Untersumme angenähert werden.

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        <![CDATA[Der Orientierte Flächeninhalt - was ist das denn eigentlich?]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video den Begriff "Orientierter Flächeninhalt": Dieser Begriff kommt in Zusammenhang mit der Integralrechnung vor. Bei dieser geht's ja oft um Flächeninhalte.

Wenn der Flächeninhalt zwischen Funktionsgraph und x-Achse zur Gänze OBERhalb der x-Achse liegt, dann ist der Wert des bestimmten Integrals genau so groß wie der Flächeninhalt. Wenn der Flächeninhalt zwischen Funktionsgraph und x-Achse zur Gänze UNTERhalb der x-Achse liegt, dann ist der Wert des bestimmten Integrals genau die Gegenzahl des Flächeninhalts ("genau so groß" wie der Flächeninhalt, aber mit negativem Vorzeichen). Dann spricht man auch vom sogenannten orientierten Flächeninhalt. Wenn man in diesem Fall den Betrag des bestimmten Integrals nimmt, dann erhält man wieder genau den Flächeninhalt. 

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        <![CDATA[Berechnung des Flächeninhalts zwischen 2 Funktionsgraphen]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video, wie du den Flächeninhalt zwischen 2 verschiedenen Funktionsgraphen berechnen kannst.

Den Flächeninhalt kannst du immer mit dem bestimmten Integral bzw. mehreren bestimmten Integralen berechnen. Das bestimmte Integral einer Funktion zwischen 2 Grenzen ist immer auch der Flächeninhalt zwischen Funktionsgraph und x-Achse zwischen den beiden Grenzen. Wenn die Fläche unterhalb der x-Achse ist, spricht man vom sogenannten orientierten Flächeninhalt. Dann musst du aufpassen, wie du die Integrale aufstellen musst, damit du wirklich genau diese bestimmte Fläche berechnen kannst. Zum Orientierten Flächeninhalt gibt es auch ein eigenes Miranda-Video. 

Der Flächeninhalt zwischen 2 Funktionsgraphen ist recht einfach zu berechnen. Es gilt:
Flächeninhalt A= Integral von "Funktion, die weiter oben liegt minus Funktion, wie weiter unten liegt"
oder anders ausgedrückt:  A= Integral von "obere Funktion minus untere Funktion"

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        <![CDATA[Beziehung zwischen Ableitungs- und Stammfunktion]]>
      </video:title>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus die Beziehung zwischen Ableitungs- und Stammfunktion. 

Um die Ableitungsfunktion (einer bestimmten Funktion) zu erhalten, musst du die Funktion ableiten (differenzieren). 
Um eine Stammfunktion (einer bestimmten Funktion) zu erhalten, musst du die Funktion integrieren (manchmal auch "aufleiten" genannt). 

Eine (differenzierbare) Funktion hat immer genau 1 Ableitungsfunktion. Die Funktion ist dann Stammfunktion der Ableitungsfunktion und umgekehrt. Wenn du die 1. Ableitungsfunktion ableitest, dann erhältst du die 2. Ableitungsfunktion der jeweiligen Funktion. Die 1. Ableitungsfunktion ist Stammfunktion der 2. Ableitungsfunktion. Graphisch mit einer Skizze ist das viel leichter zu erklären, deswegen schau dir am besten das Video an :)

Eine Funktion hat unendlich viele Stammfunktionen, die sich nur durch die Integrationskonstante (die additive Konstante c) unterscheiden. Beim Integrieren (beim unbestimmten Integral) musst du am Schluss immer die Integrationskonstante c mit "plus c" addieren. Mit dem unbestimmten Integral erhältst du die Stammfunktion bzw. eine Stammfunktion.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Beziehung zwischen Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung (s-v-a Diagramm)]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus die Beziehung zwischen Weg-, Geschwindigkeits- und Beschleunigungsfunktion. 

Die Beziehung zwischen diesen 3 Funktionen ist ähnlich wie die Beziehung zwischen Ableitungs- und Stammfunktion. Wenn du die Weg-Zeit-Funktion s(t) ableitest, erhältst du die Geschwindigkeit-Zeit-Funktion v(t). Wenn du die Geschwindigkeit-Zeit-Funktion v(t) noch einmal ableitest, erhältst du die Beschleunigung-Zeit-Funktion a(t). 

Beim Integrieren ist es genau umgekehrt. Wenn du die Beschleunigung-Zeit-Funktion a(t) integrierst, erhältst du die die Geschwindigkeit-Zeit-Funktion v(t). Wenn du die Geschwindigkeit-Zeit-Funktion v(t) integrierst, erhältst du die Weg-Zeit-Funktion s(t). 

Dieser Sachverhält lässt sich super mit dem s - v - a - Diagramm beschreiben und erklären. Dafür musst du dir einfach unser Video anschauen :)

Eine (differenzierbare) Funktion hat immer genau 1 Ableitungsfunktion. Die Funktion ist dann Stammfunktion der Ableitungsfunktion und umgekehrt. Wenn du die 1. Ableitungsfunktion ableitest, dann erhältst du die 2. Ableitungsfunktion der jeweiligen Funktion. Die 1. Ableitungsfunktion ist Stammfunktion der 2. Ableitungsfunktion. Graphisch mit einer Skizze ist das viel leichter zu erklären, deswegen schau dir am besten das Video an :)

Eine Funktion hat unendlich viele Stammfunktionen, die sich nur durch die Integrationskonstante (die additive Konstante c) unterscheiden. Beim Integrieren (beim unbestimmten Integral) musst du am Schluss immer die Integrationskonstante c mit "plus c" addieren. Mit dem unbestimmten Integral erhältst du die Stammfunktion bzw. eine Stammfunktion.

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        <![CDATA[Die Absolute Änderung]]>
      </video:title>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus die Absolute Änderung, eines der Änderungsmaße. 

Die Absolute Änderung gibt an, wie stark sich eine bestimmte Größe verändert hat, um welchen Wert sie also gestiegen oder gefallen ist. 

Die Formel für die Absolute Änderung (im Zeitintervall [a;b] ) lautet: Absolute Änderung= f(b) - f(a)

Neben der Absoluten Änderung gibt es noch folgende Änderungsmaße: Relative (Prozentuelle) Änderung, Mittlere Änderungsrate und Momentane Änderungsrate.

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        <![CDATA[Die Relative (Prozentuelle) Änderung]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus die Relative bzw. Prozentuelle Änderung, eines der Änderungsmaße. 

Die Relative Änderung gibt an, wie stark sich eine bestimmte Größe RELATIV zu ihrem Ausgangswert bzw. Startwert verändert hat, um welche "relative Häufigkeit" bzw. um wieviel Prozent sie also gestiegen oder gefallen ist. 

Die Formel für die Relative Änderung (im Zeitintervall [a;b] ) lautet: 
Relative Änderung= ( f(b) - f(a) ) / f(a)
Wenn du die Relative Änderung dann noch "mal 100" rechnest, dann erhältst du die Prozentuelle Änderung.

Neben der Relativen (Prozentuellen) Änderung gibt es noch folgende Änderungsmaße: Absolute Änderung, Mittlere Änderungsrate und Momentane Änderungsrate.

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        <![CDATA[Was bedeutet "Prozent" überhaupt?]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus, was das Wort "Prozent" überhaupt bedeutet. 

Prozent kommt vom Lateinischen "per cento" und bedeutet "von Hundert" bzw. Hundertstel. Beispielsweise bedeutet dann "3% der Leute sind über 190cm groß", dass 3 von hundert Personen über 190cm groß sind. Mit der Prozentangabe kann man dann verschiedene Größen besser vergleichen.

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        <![CDATA[Prozentrechnung: Prozentuelle Zunahme]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus die Prozentuelle Zunahme.

Bei der Prozentrechnung ist es extrem wichtig, dass du verstehst, dass man bei Prozenten immer "mal" rechnet, also multipliziert. Das erscheint unlogisch, weil ja etwas um beispielsweise 20% zunimmt oder abnimmt (man rechnet ja quasi +20% oder -20%). +20% heißt ja, dass der "neue Wert" 120% vom Ausgangswert ist (der Ausgangswert ist ja 100%), und daher muss man "mal 1,20" rechnen. 
-20% heißt ja, dass der "neue Wert" 80% vom Ausgangswert ist (der Ausgangswert ist ja 100%), und daher muss man "mal 0,80" rechnen. 

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        <![CDATA[Der Differenzenquotient]]>
      </video:title>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus den Differenzenquotienten (einer Funktion f in einem bestimmten Intervall [a, b] )

Der Differenzenquotient gibt an, wie sich die jeweilige Funktion (bzw. der jeweilige Funktionswert) im gegebenen Intervall DURCHSCHNITTLICH pro x-Einheit ändert. 

Nehmen wir an, dass wir die Funktion der Temperatur an einem bestimmten Tag gegeben haben und t=0 ist Mitternacht. Dann wäre der Differenzenquotient im Intervall [6, 10] die DURCHSCHNITTLICHE Temperaturänderung pro Stunde zwischen 6 und 10 Uhr morgens (um wieviel also die Temperatur durchschnittlich pro Stunde gestiegen oder gefallen ist in diesem Zeitraum). 

Für den Differenzenquotienten gibt es auch noch einige andere Ausdrücke (Synonyme). Mit all diesen Synonymen ist der Differenzenquotient gemeint:

Die Formel für den Differenzenquotienten im Intervall [a, b] :  ( f(b) - f(a) ) / (b-a)
Die Steigung der Sekante durch diese beiden Punkte (die an diesen beiden Stellen a und b sind)
Die durchschnittliche Steigung der Funktion f zwischen diesen beiden Stellen
Die durchschnittliche Steigung der Funktion f zwischen diesen beiden Punkten
Die mittlere Änderungsrate von f im Intervall [a, b]

Mit all diesen verschiedenen Ausdrücken ist ein- und dasselbe gemeint. Wenn eines dieser Ausdrücke gefragt ist, musst du also den Differenzenquotienten im Intervall [a, b] berechnen.

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        <![CDATA[Andere Ausdrücke für den Differenzenquotienten]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus die verschiedenen Synonyme (andere Ausdrücke) für den Differenzenquotienten.

Der Differenzenquotient in einem bestimmten Intervall [a, b] ist dasselbe wie:

Die Formel für den Differenzenquotienten im Intervall [a, b] :  ( f(b) - f(a) ) / (b-a)
Die Steigung der Sekante durch diese beiden Punkte (die an diesen beiden Stellen a und b sind)
Die durchschnittliche Steigung der Funktion f zwischen diesen beiden Stellen
Die durchschnittliche Steigung der Funktion f zwischen diesen beiden Punkten
Die mittlere Änderungsrate von f im Intervall [a, b]

Mit all diesen verschiedenen Ausdrücken ist ein- und dasselbe gemeint. Wenn eines dieser Ausdrücke gefragt ist, musst du also den Differenzenquotienten im Intervall [a, b] berechnen.

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        <![CDATA[Der Differentialquotient]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus den Differentialquotienten (einer Funktion f an einer bestimmten Stelle x). Manchmal wird der Differentialquotient auch mit z statt t geschrieben: Differenzialquotient.

Der Differentialquotient gibt an, wie sich die jeweilige Funktion (bzw. der jeweilige Funktionswert) an genau dieser Stelle ändert. 

Nehmen wir an, dass wir die Funktion der Temperatur einer Flüssigkeit bei einem bestimmten chemischen Experiment gegeben haben und bei t=0 ist der Start des Experiments und t wird in Sekunden gemessen. Dann wäre der Differentialquotient an der Stelle 10 die Temperaturänderung der Flüssigkeit GENAU an Sekunde 10 bzw. genau 10 Sekunden nach dem Start (um wieviel also die Temperatur genau zu diesem Zeitpunkt steigt bzw. sinkt). 

Für den Differentialquotienten (an einer bestimmten Stelle) gibt es auch noch einige andere Ausdrücke (Synonyme). Mit all diesen Synonymen ist der Differentialquotient gemeint:

Die 1. Ableitung der Funktion f an dieser Stelle, also f'(x)
Die Steigung der Tangente an dieser Stelle
Die Steigung der Tangente, die durch diesen Punkt verläuft
Die Steigung der Funktion f an dieser Stelle
Die Steigung der Funktion f in diesem Punkt
Die momentane Änderungsrate an dieser Stelle
Die lokale Änderungsrate an dieser Stelle (selten, wenn x die Variable ist)

Mit all diesen verschiedenen Ausdrücken ist ein- und dasselbe gemeint. Wenn eines dieser Ausdrücke gefragt ist, musst du also die 1. Ableitung an dieser Stelle bzw. f'(x) berechnen.

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        <![CDATA[Andere Ausdrücke für den Differentialquotienten]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus die verschiedenen Synonyme (andere Ausdrücke) für den Differentialquotienten.

Der Differentialquotient an einer bestimmten Stelle ist dasselbe wie:

Die 1. Ableitung der Funktion f an dieser Stelle, also f'(x)
Die Steigung der Tangente an dieser Stelle
Die Steigung der Tangente, die durch diesen Punkt verläuft
Die Steigung der Funktion f an dieser Stelle
Die Steigung der Funktion f in diesem Punkt
Die momentane Änderungsrate an dieser Stelle
Die lokale Änderungsrate an dieser Stelle (selten, wenn x die Variable ist)

Mit all diesen verschiedenen Ausdrücken ist ein- und dasselbe gemeint. Wenn eines dieser Ausdrücke gefragt ist, musst du also die 1. Ableitung an dieser Stelle bzw. f'(x) berechnen.

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        <![CDATA[Wahrscheinlichkeit - Was ist eigentlich ein Zufallsversuch?]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video den Begriff Zufallsversuch bzw. Zufallsexperiment. Was ist denn ein Zufallsversuch überhaupt?

Ein Zufallsversuch ist ein Versuch (bzw. irgendetwas, das man macht), bei dem es auf den Zufall ankommt, was als "Ergebnis" rauskommt, beispielsweise eine Münze werfen oder mit einem Würfel würfeln. Es klingt ein bisschen komisch, würfeln oder Münze werfen als Versuch oder Experiment zu bezeichnen, aber das ist der mathematische Begriff dafür. 

Es hängt vom Zufall ab, was du würfelst bzw. ob Kopf oder Zahl kommt. Es ist NICHT möglich, dass du schon vorher weißt, was du würfelst (Augenzahl 1 bis 6 ist möglich) bzw. welche Seite der Münze kommt. Daher hängt es vom Zufall ab, was rauskommt. Und daher der Name Zufallsversuch.

Jeder mögliche Ausgang (jedes Ergebnis) hat eine bestimmte Wahrscheinlichkeit. Diese wird mit p bezeichnet.

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        <![CDATA[Was ist denn eigentlich die Zufallsvariable X?]]>
      </video:title>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video den Begriff Zufallsvariable. Was ist denn eine Zufallsvariable X überhaupt?

Eine bestimmte Zufallsvariable kommt bei jedem Zufallsversuch (z.B: Würfel würfeln) vor, bzw. man kann eine bestimmte Zufallsvariable definieren. Meistens bezeichnet man sie mit einem großen X. Die Zufallsvariable kann beispielsweise die Anzahl der Würfe mit einer Augenzahl kleiner als 3 sein. 
Oder die Anzahl der Würfe mit einer geraden Augenzahl. Oder die Anzahl der Würfe mit der Augenzahl 6. Das kommt ganz auf die Aufgabe an. 

Ein Zufallsversuch ist ein Versuch (bzw. irgendetwas, das man macht), bei dem es auf den Zufall ankommt, was als "Ergebnis" rauskommt, beispielsweise eine Münze werfen oder mit einem Würfel würfeln. Es klingt ein bisschen komisch, würfeln oder Münze werfen als Versuch oder Experiment zu bezeichnen, aber das ist der mathematische Begriff dafür. 

Es hängt vom Zufall ab, was du würfelst bzw. ob Kopf oder Zahl kommt. Es ist NICHT möglich, dass du schon vorher weißt, was du würfelst (Augenzahl 1 bis 6 ist möglich) bzw. welche Seite der Münze kommt. Daher hängt es vom Zufall ab, was rauskommt. Und daher der Name Zufallsversuch.

Jeder mögliche Ausgang (jedes Ergebnis) hat eine bestimmte Wahrscheinlichkeit. Diese wird mit p bezeichnet.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Wahrscheinlichkeit - Grundraum und Elementarereignis]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt unser Tutor Markus die Begriffe Grundraum und Elementarereignis. Diese beiden Begriffe kommen beim Themengebiet der Wahrscheinlichkeitsrechnung vor. 

Der Grundraum eines Zufallsversuchs bzw. Zufallsexperiments sind alle Elementarereignisse, die möglich sind. Das Symbol für den Grundraum ist normalerweise das große griechische Omega. Der Grundraum beim Würfeln mit einem normalen Würfel mit 6 Seiten ist beispielsweise:
Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6}  
oder beim Werfen einer Münze: 
Ω= {Kopf, Zahl}

Die Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6 sind die Elementarereignisse des Zufallsversuchs "Würfeln mit einem normalen Würfel". Und "Kopf" und "Zahl" sind die Elementarereignisse beim Werfen einer Münze.

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        <![CDATA[Die Laplace-Wahrscheinlichkeit]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt unser Tutor Markus die sogenannte Laplace-Wahrscheinlichkeit. Dieser Begriff kommt logischerweise :) beim Themengebiet der Wahrscheinlichkeitsrechnung vor. 

Die sogenannte Laplace-Wahrscheinlichkeit kannst du dir bei allen Laplace-Versuchen berechnen. 

Ein Laplace-Versuch ist ein Zufallsversuch, bei dem alle möglichen Ausgänge gleich wahrscheinlich sind, also dieselbe Wahrscheinlichkeit haben. Ein Zufallsversuch ist irgendetwas, das man macht, und es kommt dabei auf den Zufall an, was rauskommt, beispielsweise eine Münze werfen oder mit einem Würfel würfeln. Und diese beiden klassischen Zufallsversuche sind auch Laplace-Versuche, weil die Wahrscheinlichkeit für alle Ausgänge gleich ist.

Eine Münze werfen ist ein Laplace-Experiment, die beiden Ausgänge Kopf oder Zahl (man kann nur Kopf oder Zahl werfen) haben beide die Wahrscheinlichkeit p=0,5
Auch das Würfeln ist ein Laplace-Experiment. Man kann 6 verschiedene Zahlen würfeln, und jede Augenzahl (1 bis 6) hat dieselbe Wahrscheinlichkeit, nämlich 1/6.

Die Laplace-Wahrscheinlichkeit erhältst du mit folgender Formel:
P= "günstige Möglichkeiten" / "alle Möglichkeiten"  bzw. 
P= "günstige Ausgänge" / "alle möglichen Ausgänge"
wobei die "günstigen Möglichkeiten" immer diejenigen sind, von denen du die Wahrscheinlichkeit berechnen sollst. 

Die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl zu würfeln, ist dann beispielsweise:
P("gerade Zahl")= 3/6 
weil es ja 3 Möglichkeiten gibt, eine gerade Zahl zu würfeln (2, 4 oder 6) und insgesamt gibt's 6 Möglichkeiten (1 bis 6). 

Schau dir das Video an, um noch mehr Beispiele zu sehen :)

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        <![CDATA[Die Gegenwahrscheinlichkeit]]>
      </video:title>
      <video:description>
        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video, was "Gegenwahrscheinlichkeit" eigentlich bedeutet. 

Die Gegenwahrscheinlichkeit ist sozusagen genau das Gegenteil einer bestimmten Wahrscheinlichkeit. Die Wahrscheinlichkeit, dass man einen 6er würfelt (das klassische Beispiel) ist p=1/6
Die Gegenwahrscheinlichkeit dazu ist die Wahrscheinlichkeit für das Gegenteil, also dass man KEINEN Sechser würfelt, also dass man 1, 2, 3, 4 oder 5 würfelt. Diese Gegenwahrscheinlichkeit ist dann IMMER "1 minus p" (weil 1 für alle Möglichkeiten, also 100%, steht)
q = 1-p = 5/6
Die Gegenwahrscheinlichkeit existiert also nicht alleine, sondern immer nur im Vergleich zu einer bestimmten Möglichkeit und gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass genau das Gegenteil (also alle anderen Möglichkeiten) des gewünschten Ereignisses (der gewünschten Wahrscheinlichkeit) auftritt. Du musst also das Gegenteil des gewünschten Ereignisses (der gewünschten Wahrscheinlichkeit) herausfinden. 

Achtung: Das Gegenteil zu "Ich würfle jedes Mal einen 6er" ist NICHT "Ich würfle nie einen 6er", sondern "Ich würfle jedes Mal außer 1 Mal einen 6er". 
Wenn man z.B: 5 mal würfelt, dann ist das Gegenteil vom Ereignis "Jedes Mal einen 6er würfeln (also 5 mal einen 6er würfeln)" ja alle anderen Möglichkeiten, die es gibt, also das Ereignis "Höchstens 4 mal einen 6er würfeln". 

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Was ist eigentlich eine Wahrscheinlichkeitsverteilung?]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video, was denn eine Wahrscheinlichkeitsverteilung überhaupt ist?

Es gibt diskrete und stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung ist beispielsweise die Binomialverteilung. Eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung ist zum Beispiel die Normalverteilung. Bei einer Wahrscheinlichkeitsverteilung wird angegeben, wie die einzelnen Wahrscheinlichkeiten für die Zufallsvariable "verteilt" sind.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung beim Würfeln mit einem fairen Würfel gibt also an, wie wahrscheinlich jede Augenzahl ist. Es wird also jeder Augenzahl eine bestimmte Wahrscheinlichkeit zugeordnet bzw. jede Augenzahl hat eine bestimmte Wahrscheinlichkeit, dass sie gewürfelt wird.

So hat jeder Zufallsversuch, den man durchführt, eine bestimmte Wahrscheinlichkeitsverteilung. Jedem möglichen Wert für die Zufallsvariable wird eine bestimmte Wahrscheinlichkeit zugeordnet bzw. jeder mögliche Wert für die Zufallsvariable hat eine bestimmte Wahrscheinlichkeit. 

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Wahrscheinlichkeit - Ziehen ohne Zurücklegen]]>
      </video:title>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video, was "Ziehen ohne Zurücklegen" eigentlich bedeutet. Ziehen ohne Zurücklegen kommt in der Wahrscheinlichkeitsrechnung bei mehrmaliger und aufeinanderfolgender Durchführung eines Zufallsversuchs vor. 

Man macht also einen bestimmten Zufallsversuch (z.B: Kugeln aus einer Urne oder Schachtel ziehen) mehrmals hintereinander. Wenn man die Kugel, die man gezogen hat, nach dem Ziehen wieder in die Urne oder Schachtel zurücklegt, dann spricht man von Ziehen MIT Zurücklegen. Wenn man die Kugel aber eben NICHT wieder in die Urne zurücklegt, dann spricht man von Ziehen OHNE Zurücklegen. 

Das Ziehen von Kugeln aus einer Urne ist das Paradebeispiel, es kann aber auch ganz was anderes sein, beispielsweise Ziehen von Gummibären aus der Packung, Hausübungskontrolle in der Klasse, Drankommen zur Stundenwiederholung, Ticket-Kontrolle in der U-Bahn, usw.

Alle Zufallsversuche, bei denen es "keinen Sinn macht", dass man 2 mal "dran kommt", sind Zufallsversuche mit "Ziehen ohne Zurücklegen". Beim Ziehen ohne Zurücklegen ÄNDERT sich bei jedem mal Ziehen die Wahrscheinlichkeit, daher handelt es sich bei Ziehen ohne Zurücklegen nicht um Binomialverteilung. Beim Ziehen mit Zurücklegen bleibt die Wahrscheinlichkeit gleich, es handelt sich beim Zufallsversuch um eine Binomialverteilte Zufallsvariable. Man kann bei Ziehen mit Zurücklegen als mit den Taschenrechner-Funktionen für die Binomialverteilung und mit der Formel für die Binomialverteilung rechnen.  

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Wie macht man eigentich ein Baumdiagramm?]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt unser Tutor Markus den Begriff Baumdiagramm, der beim Themengebiet der Wahrscheinlichkeitsrechnung vorkommt. 

Mithilfe des Baumdiagramms kannst du einen Zufallsversuchs, den du mehrmals wiederholst, visualisieren und veranschaulichen. Bei einem Zufallsexperiment, den du nur 1 mal machst, bringt ein Baumdiagramm leider nichts. Bei einem Baumdiagramm schreibst du an das Ende eines "Astes" das jeweilige Ereignis, und entlang des "Astes" die jeweils zugehörige Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis. Beim Baumdiagramm gibt es dann soviele "Ebenen", wie oft du den Zufallsversuch eben wiederholst. 

Wie das genau funktioniert, ist leider verbal ohne Bilder und ohne Zeichnen leider nicht so leicht zu erklären, deswegen schau dir doch einfach das Video an :)

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Wahrscheinlichkeit - Der Erwartungswert]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt unser Tutor Markus den Begriff Erwartungswert, der vor allem in der Wahrscheinlichkeitsrechnung vorkommt. 

Der Erwartungswert E(X) einer Zufallsvariablen X ist der Wert, den man für die Zufallsvariable erwarten kann bzw. der Wert, den die Zufallsvariable voraussichtlich annehmen wird. Der Erwartungswert E(X) ist also der Wert, den die Zufallsvariable am wahrscheinlichsten annehmen wird. 

Die Formel für den Erwartungswert einer Wahrscheinlichkeitsverteilung ist nicht so leicht zu "lesen", steht aber natürlich in jeder Formelsammlung drin, auch in der Miranda-Formelsammlung. Wie man die Formel anwendet, wird im Video leicht verständlich erklärt. 

Der Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsvariable ist viel leichter zu berechnen, die Formel lautet einfach:
E(X)=n*p
Neben dem Erwartungswert ist vor allem die Standardabweichung und auch die Varianz eine wichtige Kennzahl für Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

Die Varianz V(X) ist ein Maß für die Streuung der Wahrscheinlichkeitsdichte (der einzelnen Wahrscheinlichkeiten einer Wahrscheinlichkeitsverteilung) um ihren Schwerpunkt (den Erwartungswert). Mathematisch wird sie als die mittlere quadratische Abweichung einer Zufallsvariablen von ihrem Erwartungswert E(X) definiert. Die Quadratwurzel der Varianz ist die sogenannte Standardabweichung "Sigma" und ist wohl das wichtigste Streuungsmaß.

Die Formeln für die Varianz und die Standardabweichung sind für die meisten Wahrscheinlichkeitsverteilungen relativ kompliziert. Die Formeln findest du in jeder Formelsammlung, natürlich auch in unserer Miranda-Formelsammlung. Die Berechnung von Standardabweichung und Varianz ist langwierig, außer es handelt sich um eine Binomialverteilte Zufallsvariable, dann ist die Formel relativ einfach. 
V(X)= n*p*(1-p)

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Wahrscheinlichkeit - Varianz und Standardabweichung]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt unser Tutor Markus die Begriffe Standardabweichung und Varianz bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung bzw. in der Stochastik. 

Die Varianz V(X) ist ein Maß für die Streuung der Wahrscheinlichkeitsdichte (der einzelnen Wahrscheinlichkeiten einer Wahrscheinlichkeitsverteilung) um ihren Schwerpunkt (den Erwartungswert). Mathematisch wird sie als die mittlere quadratische Abweichung einer Zufallsvariablen von ihrem Erwartungswert E(X) definiert. Die Quadratwurzel der Varianz ist die sogenannte Standardabweichung "Sigma" und ist wohl das wichtigste Streuungsmaß.

Jede Zufallsvariable hat eine bestimmte Varianz und eine bestimmte Zufallsvariable. In den allermeisten Fällen sind diese Streuungsmaße der Zufallsvariablen aber nicht so wichtig, der Erwartungswert E(X) ist deutlich wichtiger.

Die Formeln für die Varianz und die Standardabweichung sind für die meisten Wahrscheinlichkeitsverteilungen relativ kompliziert. Die Formeln findest du in jeder Formelsammlung, natürlich auch in unserer Miranda-Formelsammlung. Die Berechnung von Standardabweichung und Varianz ist langwierig, außer es handelt sich um eine Binomialverteilte Zufallsvariable, dann ist die Formel relativ einfach. 
V(X)= n*p*(1-p)

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Der Binomialkoeffizient]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video den sogenannten Binomialkoeffizienten. 

Der Binomialkoeffizient "n über k" (die mathematische Schreibweise kann man hier im Text leider nicht schreiben) gibt keine Wahrscheinlichkeit, sondern immer eine gewisse Anzahl an Möglichkeiten an. Und zwar die Anzahl an Möglichkeiten, dass man aus n Elementen genau k Elemente auswählt, unabhängig von der Reihenfolge (die Reihenfolge ist egal). 

"11 über 5" beim Fußball würde beispielsweise die Anzahl an Möglichkeiten angeben, die 5 Elfmeterschützen aus den 11 Spielern auszuwählen. Die Reihenfolge ist egal, es geht hier dann nur darum, WER die Elfmeter schießt. Wer WANN schießt, ist uns in diesem Fall egal.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Was bedeutet nCr (beim Binomialkoeffizient)?]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video, was nCR bei der Eingabe des Binomialkoeffizienten in den Taschenrechner bedeutet. 

Der Binomialkoeffizient "n über k" (die mathematische Schreibweise kann man hier im Text leider nicht schreiben) gibt keine Wahrscheinlichkeit, sondern immer eine gewisse Anzahl von Möglichkeiten an. Und zwar die Anzahl von Möglichkeiten, dass man aus n Elementen genau k Elemente auswählt, unabhängig von der Reihenfolge (die Reihenfolge ist egal). 

"n über k" wird im Englischen als "n über r" geschrieben, und das C bei nCr bedeutet "Choose". nCr heißt also " n Choose r", quasi die englische Sprechweise für "n über k". 
Auf Deutsch heißt es also "n über k", auf Englisch "n Choose r", und im Taschenrechner wird die englische Sprechweise abgekürzt. 

"11 über 5" beim Fußball würde beispielsweise die Anzahl an Möglichkeiten angeben, die 5 Elfmeterschützen aus den 11 Spielern auszuwählen. Die Reihenfolge ist egal, es geht hier dann nur darum, WER die Elfmeter schießt. Wer WANN schießt, ist uns in diesem Fall egal.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Wahrscheinlichkeit - Ziehen mit Zurücklegen - Binomialverteilung]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video, was "Ziehen mit Zurücklegen" eigentlich bedeutet. Ziehen mit Zurücklegen kommt in der Wahrscheinlichkeitsrechnung bei mehrmaliger und aufeinanderfolgender Durchführung eines Zufallsversuchs vor. 

Man macht also einen bestimmten Zufallsversuch (z.B: Kugeln aus einer Urne oder Schachtel ziehen) mehrmals hintereinander. Wenn man die Kugel, die man gezogen hat, nach dem Ziehen wieder in die Urne oder Schachtel zurücklegt, dann spricht man von Ziehen MIT Zurücklegen. Wenn man die Kugel aber eben NICHT wieder in die Urne zurücklegt, dann spricht man von Ziehen OHNE Zurücklegen. 

Das Ziehen von Kugeln aus einer Urne ist das Paradebeispiel, es kann aber auch ganz was anderes sein, beispielsweise Ziehen von Gummibären aus der Packung, Hausübungskontrolle in der Klasse, Drankommen zur Stundenwiederholung, Ticket-Kontrolle in der U-Bahn, usw.

Alle Zufallsversuche, bei denen es "keinen Sinn macht", dass man 2 mal "dran kommt", sind Zufallsversuche mit "Ziehen ohne Zurücklegen". Beim Ziehen ohne Zurücklegen ÄNDERT sich bei jedem mal Ziehen die Wahrscheinlichkeit, daher handelt es sich bei Ziehen ohne Zurücklegen nicht um Binomialverteilung. Beim Ziehen mit Zurücklegen bleibt die Wahrscheinlichkeit gleich, es handelt sich beim Zufallsversuch um eine Binomialverteilte Zufallsvariable. Man kann bei Ziehen mit Zurücklegen als mit den Taschenrechner-Funktionen für die Binomialverteilung und mit der Formel für die Binomialverteilung rechnen.  

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        <![CDATA[Wahrscheinlichkeit - Diskrete und Stetige Zufallsvariablen]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video den Begriff Stetige bzw. Diskrete Zufallsvariable.

Eine bestimmte Zufallsvariable kommt bei jedem Zufallsversuch (z.B: Würfel würfeln) vor, bzw. man kann eine bestimmte Zufallsvariable definieren. Meistens bezeichnet man sie mit einem großen X. Die Zufallsvariable kann beispielsweise die Anzahl der Würfe mit einer Augenzahl kleiner als 3 sein. 
Oder die Anzahl der Würfe mit einer geraden Augenzahl. Oder die Anzahl der Würfe mit der Augenzahl 6. Das kommt ganz auf die Aufgabe an. 

Eine diskrete Zufallsvariable bedeutet, dass sie nur einzelne Werte annehmen kann, wie zum Beispiel beim Würfeln. Man kann nur die Augenzahlen 1 bis 6 würfeln. Man kann nicht 1,5 oder 2,33 würfeln. Wenn man einen Zufallsversuch öfter wiederholt (beispielsweise 5 mal Münze werfen), dann kann man auch nur ganze Zahlen als Anzahl für "wie oft kommt Kopf" für die Zufallsvariable erhalten. Man kann nicht 3,7 mal Kopf werfen.
Bei der Binomialverteilung hat man es mit einer diskreten Zufallsvariable zu tun, wie auch bei den meisten anderen Wahrscheinlichkeits-Aufgaben.

Bei der Normalverteilung hat man es jedoch mit einer stetigen Zufallsvariable zu tun. So eine stetige Zufallsvariable ist beispielsweise die Körpergröße oder die Länge von Schrauben, die eine Maschine erzeugt. Die Zufallsvariable kann jede reelle Zahl sein, wenn man annimmt, dass man beliebig genau messen kann. Es ist ja natürlich eine Körpergröße von 184,2 oder 176,45 Zentimeter möglich.

Ein Zufallsversuch ist ein Versuch (bzw. irgendetwas, das man macht), bei dem es auf den Zufall ankommt, was als "Ergebnis" rauskommt, beispielsweise eine Münze werfen oder mit einem Würfel würfeln. Es klingt ein bisschen komisch, würfeln oder Münze werfen als Versuch oder Experiment zu bezeichnen, aber das ist der mathematische Begriff dafür. 

Es hängt vom Zufall ab, was du würfelst bzw. ob Kopf oder Zahl kommt. Es ist NICHT möglich, dass du schon vorher weißt, was du würfelst (Augenzahl 1 bis 6 ist ]]>
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        <![CDATA[Normalverteilung - Normalapproximation der Binomialverteilung]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video, was die Normalapproximation der Binomialverteilung überhaupt bedeutet. 

Bei dieser sogenannten Normalapproximation der Binomialverteilung wird eine binomialverteilte Zufallsvariable durch eine normalverteilte Zufallsvariable angenähert. Man rechnet also statt mit der Binomialverteilung mit der Normalverteilung. Die Wahrscheinlichkeit, die man mit der Binomialverteilung erhalten würde, wäre das genaue Ergebnis. Die Wahrscheinlichkeit, die man mit der Normalverteilung erhält, ist nicht das genaue Ergebnis, aber eine gute Annäherung an das genaue Ergebnis und eben genau genug. 

Damit man diese Approximation durchführen "darf", muss die Standardabweichung größer als 3 sein. Wenn die Standardabweichung für die jeweilige Aufgabenstellung größer als 3 ist, darf man die Zufallsvariable als normalverteilt annehmen, und man darf also mit den Formeln für die Normalverteilung rechnen.

Die Normalverteilung ist eine bestimmte stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, wahrscheinlich die wichtigste oder zumindest die bekannteste Wahrscheinlichkeitsverteilung überhaupt. Jede normalverteilte Zufallsvariable ("jede Normalverteilung") hat einen bestimmten Erwartungswert und eine bestimmte Standardabweichung.

Die Standardnormalverteilung ist dann einfach eine standardisierte Normalverteilung. Andere Namen dafür sind "0-1-Normalverteilung" und "normierte Normalverteilung". Bei der Standardnormalverteilung ist der Erwartungswert gleich null und die Standardabweichung gleich 1. Diese beiden Kennzahlen wurden also normiert. Durch diese Normierung bzw. Standardisierung kann man in Standardnormalverteilungs-Tabellen die Fläche unterhalb des Graphen (also die Wahrscheinlichkeit) nachschlagen. Die Normalverteilung lässt sich recht einfach in die Standardnormalverteilung überführen.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Statistik - Was ist eigentlich ein Konfidenzintervall?]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video, was ein sogenanntes Konfidenzintervall eigentlich ist. Ein Konfidenzintervall (kurz KI) wird auch Vertrauensbereich oder  Vertrauensintervall genannt. 

iEn Konfidenzintervall berechnet man in der Statistik, wenn man wissen will, wie groß ein bestimmter Parameter (z.B: der Stimmenanteil einer Partei bei einer Wahl) mit einer gewissen Sicherheit ist. Diese Sicherheit eines Konfidenzintervalls wird auch Konfidenzniveau genannt. 

Wenn man ein Konfidenzintervall für eine bestimmte Umfrage (wie viel Prozent wird die SPÖ erreichen?) oder einen bestimmten Datensatz berechnet, nimmt man als Konfidenzniveau üblicherweise 90%, 95% oder 99%. Am öftesten kommt das 95%-Konfidenzintervall vor, also ein Konfidenzintervall, bei dem die Sicherheit 95% beträgt. 

So ein 95% KI bedeutet dann, dass das KI den wahren Wert des Parameters (wieviel % die SPÖ bei der Wahl dann wirklich bekommt) mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% enthält. Ist das 95% KI beispielsweise [23,8% ; 27,6%], dann enthält dieses Intervall den "wahren Prozentsatz" (der dann bei der Wahl herauskommt) mit einer Wahrscheinlichkeit von 95%. 
Oder: Der wahre Wert liegt zu 95% zwischen 23,8 und 27,6%. 

Wenn man die Sicherheit des KI vergrößert, so vergrößert sich auch die Breite des Konfidenzintervalls. Wenn man die Sicherheit des KI verkleinert, so verringert sich die Breite des Konfidenzintervalls.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Konfidenzniveau bzw. Sicherheit eines Konfidenzintervalls]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video den Begriff Konfidenzniveau (bei einem Konfidenzintervall). Das Konfidenzniveau ist die Sicherheit des Konfidenzintervalls.

Wenn man ein Konfidenzintervall für eine bestimmte Umfrage oder einen bestimmten Datensatz berechnet, nimmt man als Konfidenzniveau üblicherweise 90%, 95% oder 99%. Am öftesten kommt das 95%-Konfidenzintervall vor, also ein Konfidenzintervall, bei dem die Sicherheit 95% beträgt. 

Wenn man die Sicherheit vergrößert, so vergrößert sich auch die Breite des Konfidenzintervalls. Wenn man die Sicherheit verkleinert, so verringert sich die Breite des Konfidenzintervalls.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Statistische Darstellungsformen Teil 1 - Säulendiagramm und Balkendiagramm]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video das Säulen- und das Balkendiagramm. 

Diese beiden Diagrammtypen kannst du zur besseren Visualisierung von statistischen Datenlisten nutzen. Ein Säulen- und ein Balkendiagramm hat bestimmt jeder von euch schon einmal gesehen. Auf der einen Achse wird das Merkmal aufgetragen, und auf der anderen Achse die absolute oder relative Häufigkeit. Diese relative Häufigkeit musst du dir evtl. vorher noch berechnen. Manchmal wird die relative Häufigkeit auch in Prozent angegeben.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Statistische Darstellungsformen Teil 2 - Kreisdiagramm und Prozentstreifen]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video das Kreisdiagramm und den Prozentstreifen. 

Diese beiden Diagrammtypen kannst du zur besseren Visualisierung von statistischen Datenlisten nutzen. Ein Kreis- bzw. Tortendiagramm hat bestimmt jeder von euch schon einmal gesehen. Der Kreis wird in mehrere Sektoren unterteilt, und die Größe der jeweiligen Sektoren gibt den jeweiligen Prozentsatz bzw. die relative Häufigkeit an, wie oft ein bestimmtes Merkmal auftritt. Dabei entspricht 1% beim Kreisdiagramm genau 3,6 Grad. Denn der gesamte Kreis sind ja 100% bzw. 360 Grad. 

Ein Prozentstreifen hat eine gewisse Länge, am besten 10 Zentimeter. Dann entspricht 1 Millimeter genau 1%. Die Länge des jeweiligen Streifens gibt dann den jeweiligen Prozentsatz des Merkmals an.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Statistische Darstellungsformen Teil 3 - Stängel-Blatt-Diagramm und Histogramm]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video das Stängel-Blatt-Diagramm und das Histogramm. 

Diese beiden Diagrammtypen kannst du zur besseren Visualisierung von statistischen Datenlisten nutzen. Beide dieser Diagramme sind allerdings nicht sehr bekannt. Vielleicht hast du beide noch nie gesehen. 

Beim Stängel-Blatt-Diagramm hat man eine Art Tabelle. Der sogenannte Stängel ist, je nach Angabe und Datenliste, die Zehner oder auch Hunderter-Stelle, und das Blatt ist die Einer-Stelle. So kann man die einzelnen Werte aus dem Diagramm etwas schneller ablesen. 

Beim Histogramm, so steht es auch immer in den Aufgabenstellungen der Matura- und Aufgabenpool-Aufgaben, ist der Flächeninhalt der einzelnen Rechtecke sehr wichtig. Die Flächeninhalte sind die absoluten Häufigkeiten des jeweiligen Merkmals. 

Beide Diagramme werden im Video leicht verständlich erklärt, mit Bildern ist es einfach viel leichter zu erklären :)

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        <![CDATA[Statistik - Das arithmetische Mittel]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus, was das sogenannte Arithmetische Mittel ist. 

Das Arithmetische Mittel kommt in der Statistik sehr häufig vor und wird oft auch als Durchschnitt bzw. Mittelwert bezeichnet. Mittelwert ist leider keine gute Bezeichnung, da es verschiedene Mittelwerte gibt. Du solltest also am besten auch wirklich "arithmetisches Mittel" oder "arithmetischer Mittelwert" sagen. Wenn man den Notendurchschnitt einer Mathe-Schularbeit berechnet, dann berechnest du das Arithmetische Mittel. Hoffentlich kommt dabei eine möglichst niedrige Zahl knapp bei 1 raus 😅

Das arithmetische Mittel wird meistens mit "x quer" abgekürzt, also ein Querstrich über dem x. Du kannst es berechnen, indem du die Summe aller Werte durch die Anzahl der Werte dividierst.

Neben dem Arithmetischen Mittel sind der Median und der Modus sehr wichtige Statistische Kennzahlen.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Statistik - Die Standardabweichung]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt unser Tutor Markus die (empirische) Standardabweichung, die vor allem in der Statistik, aber auch in der Wahrscheinlichkeitsrechnung vorkommt. In diesem Video geht es um die Standardabweichung in der Statistik. In der Wahrscheinlichkeitsrechnung (Stochastik) ist die Standardabweichung aber sehr ähnlich.

Die Standardabweichung ist ein Maß für die Streuung der Werte einer bestimmten Datenliste um ihren Mittelwert bzw. um ihr arithmetisches Mittel. Du kannst die (empirische) Standardabweichung als durchschnittliche Abweichung der einzelnen Werte der Datenliste vom arithmetischen Mittel ansehen. 

Je größer die Standardabweichung ist, desto mehr streuen die einzelnen Wert um den arithmetischen Mittelwert bzw. desto weiter liegen sie durchschnittlich vom arithmetischen Mittel entfernt. 

Die Formel für die Standardabweichung ist relativ kompliziert, sie steht aber natürlich in jeder Formelsammlung, auch in unserer Miranda-Formelsammlung. 

Die Varianz ist das Quadrat der Standardabweichung und ebenfalls ein Maß für die Streuung. Die (empirische) Standardabweichung wird aber öfter verwendet. 

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Statistik - Der Median]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus, was der sogenannte Median ist. 

Der Median kommt immer wieder in der Statistik vor und ist ganz einfach zu erklären. Der Median ist einfach der Wert (die Zahl) einer GEORDNETEN Datenliste, der genau in der Mitte der Datenliste steht. Es sind also 50% der Zahlen kleiner als der Median (bzw. kleiner gleich) und 50 % der Zahlen sind größer als der Median (bzw. größer gleich). Wie man den Median genau bestimmt, wird im Video erklärt.

Neben dem Median sind der Modus und das arithmetische Mittel sehr wichtige Statistische Kennzahlen.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Statistik - Der Modus]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus, was der sogenannte Modus ist. 

Der Modus kommt immer wieder in der Statistik vor und ist ganz einfach zu erklären. Der Modus ist einfach der Wert (die Zahl), der am öftesten vorkommt in der Datenliste. Wenn mehrere Zahlen am öftesten vorkommen, sind alle diese Zahlen sogenannte Modi. 

Neben dem Modus sind der Median und das arithmetische Mittel sehr wichtige Statistische Kennzahlen.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Statistik - Der Boxplot]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video den sogenannten Boxplot, eine statistische Darstellungsform. Ein Boxplot wird manchmal auch Kastenschaubild genannt.

In einem Boxplot werden Minimum, 1. Quartil (unteres Quartil), Median, 3. Quartil (oberes Quartil) und Maximum einer jeweiligen Datenliste dargestellt. Zwischen den jeweiligen statistischen Kennzahlen liegen immer 25 % aller Werte der zugrunde liegenden Datenliste. Die einzelnen statistischen Kennzahlen werden in anderen Videos auf unserem Miranda - Mobile Learning Channel erklärt.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Boxplot - 1. und 3. Quartil (unteres und oberes Quartil)]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video das 1. und 3. Quartil (unteres und oberes Quartil), die vor allem im Zusammenhang mit dem Boxplot (Kastenschaubild) vorkommen. 

Das 1. Quartil ist nicht der linke (untere) Bereich eines Boxplots, sondern ein genauer Wert. Die Definition des 1. Quartils ist: Die kleinsten 25 % der Datenwerte sind kleiner als dieser oder gleich diesem Wert. 25% der Daten liegen also zwischen Minimum und 1. Quartil. Das 1. Quartil (untere Quartil) ist der linke Rand der Box.

Das 3. Quartil ist nicht der rechte (obere) Bereich eines Boxplots, sondern ein genauer Wert. Die Definition des 3. Quartils ist: Die kleinsten 75 % der Datenwerte sind kleiner als dieser oder gleich diesem Wert. 75% der Daten liegen also zwischen Minimum und 3. Quartil bzw. 25% der Datenwerte zwischen 3. Quartil und Maximum. Das 3. Quartil (untere Quartil) ist der rechte Rand der Box.

In einem Boxplot werden Minimum, 1. Quartil (unteres Quartil), Median, 3. Quartil (oberes Quartil) und Maximum einer jeweiligen Datenliste dargestellt. Zwischen den jeweiligen statistischen Kennzahlen liegen immer 25 % aller Werte der zugrunde liegenden Datenliste. Die einzelnen statistischen Kennzahlen werden in anderen Videos auf unserem Miranda - Mobile Learning Channel erklärt.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Statistik - Was ist eigentlich ein Konfidenzintervall?]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video, was ein sogenanntes Konfidenzintervall eigentlich ist. Ein Konfidenzintervall (kurz KI) wird auch Vertrauensbereich oder  Vertrauensintervall genannt. 

iEn Konfidenzintervall berechnet man in der Statistik, wenn man wissen will, wie groß ein bestimmter Parameter (z.B: der Stimmenanteil einer Partei bei einer Wahl) mit einer gewissen Sicherheit ist. Diese Sicherheit eines Konfidenzintervalls wird auch Konfidenzniveau genannt. 

Wenn man ein Konfidenzintervall für eine bestimmte Umfrage (wie viel Prozent wird die SPÖ erreichen?) oder einen bestimmten Datensatz berechnet, nimmt man als Konfidenzniveau üblicherweise 90%, 95% oder 99%. Am öftesten kommt das 95%-Konfidenzintervall vor, also ein Konfidenzintervall, bei dem die Sicherheit 95% beträgt. 

So ein 95% KI bedeutet dann, dass das KI den wahren Wert des Parameters (wieviel % die SPÖ bei der Wahl dann wirklich bekommt) mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% enthält. Ist das 95% KI beispielsweise [23,8% ; 27,6%], dann enthält dieses Intervall den "wahren Prozentsatz" (der dann bei der Wahl herauskommt) mit einer Wahrscheinlichkeit von 95%. 
Oder: Der wahre Wert liegt zu 95% zwischen 23,8 und 27,6%. 

Wenn man die Sicherheit des KI vergrößert, so vergrößert sich auch die Breite des Konfidenzintervalls. Wenn man die Sicherheit des KI verkleinert, so verringert sich die Breite des Konfidenzintervalls.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Konfidenzniveau bzw. Sicherheit eines Konfidenzintervalls]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video den Begriff Konfidenzniveau (bei einem Konfidenzintervall). Das Konfidenzniveau ist die Sicherheit des Konfidenzintervalls.

Wenn man ein Konfidenzintervall für eine bestimmte Umfrage oder einen bestimmten Datensatz berechnet, nimmt man als Konfidenzniveau üblicherweise 90%, 95% oder 99%. Am öftesten kommt das 95%-Konfidenzintervall vor, also ein Konfidenzintervall, bei dem die Sicherheit 95% beträgt. 

Wenn man die Sicherheit vergrößert, so vergrößert sich auch die Breite des Konfidenzintervalls. Wenn man die Sicherheit verkleinert, so verringert sich die Breite des Konfidenzintervalls.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Wie ändert sich die Breite eines Konfidenzintervalls?]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video, wie sich die Breite eines Konfidenzintervalls ändert, wenn man verschiedene Parameter ändert. Ein Konfidenzintervall (kurz KI) wird auch Vertrauensbereich oder  Vertrauensintervall genannt. 

Ein Konfidenzintervall berechnet man in der Statistik, wenn man wissen will, wie groß ein bestimmter Parameter (z.B: der Stimmenanteil einer Partei bei einer Wahl) mit einer gewissen Sicherheit ist. Diese Sicherheit eines Konfidenzintervalls wird auch Konfidenzniveau genannt. 

Wenn man ein Konfidenzintervall für eine bestimmte Umfrage (wie viel Prozent wird die SPÖ erreichen?) oder einen bestimmten Datensatz berechnet, nimmt man als Konfidenzniveau üblicherweise 90%, 95% oder 99%. Am öftesten kommt das 95%-Konfidenzintervall vor, also ein Konfidenzintervall, bei dem die Sicherheit 95% beträgt. 

So ein 95% KI bedeutet dann, dass das KI den wahren Wert des Parameters (wieviel % die SPÖ bei der Wahl dann wirklich bekommt) mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% enthält. Ist das 95% KI beispielsweise [23,8% ; 27,6%], dann enthält dieses Intervall den "wahren Prozentsatz" (der dann bei der Wahl herauskommt) mit einer Wahrscheinlichkeit von 95%. 
Oder: Der wahre Wert liegt zu 95% zwischen 23,8 und 27,6%. 

Wenn man die Sicherheit des KI vergrößert, so vergrößert sich auch die Breite des Konfidenzintervalls. Wenn man die Sicherheit des KI verkleinert, so verringert sich die Breite des Konfidenzintervalls.

Wenn sich der Stichprobenumfang n einer Umfrage erhöht (wenn man also mehr Leute für so eine Umfrage interviewt), so verringert sich die Breite des KI. Wenn man den Stichprobenumfang n einer Umfrage verringert (wenn man also weniger Leute für so eine Umfrage interviewt), so erhöht sich die Breite des KI. 

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Multiplikation, Produkt und Faktor]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video die Begriffe Multiplikation, Produkt und Faktor. 

Bestimmt weiß jeder von euch, was eine Multiplikation ist. Eine Multiplikation ist eine "mal" Rechnung. Der Punkt (in mittlerer Höhe) ist das Zeichen für die Multiplikation.

Das Produkt ist das Ergebnis einer Multiplikation. Deswegen kommt "Produkt" auch beispielsweise beim Begriff Skalarprodukt vor. Beim Skalarprodukt werden ja 2 Vektoren multipliziert, und man erhält eine Zahl (Skalar ist ein anderes Wort für Zahl).

Der Faktor ist einer der beiden "Teile" der Multiplikation. Man sagt: "Faktor mal Faktor = Produkt"

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        <![CDATA[Division und Quotient]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video die Begriffe Division und Quotient. 

Bestimmt weiß jeder von euch, was eine Division ist. Eine Division ist eine "geteilt durch" bzw. "dividiert durch" Rechnung. Der Doppelpunkt ist das Zeichen für die Division, ein Verhältnis, beispielsweise "3 zu 2" ist eigentlich auch eine Division, nämlich 3:2. Der Bruchstrich ist auch ein Divisions-Zeichen.

Der Quotient ist das Ergebnis einer Division. Deswegen kommt "Quotient" auch bei den mathematischen Begriffen "Differenzenquotient" und Differenzialquotient" vor. Bei den Formeln für diese Begriffe ist ja eine Division dabei.

Das Symbol Q für die Rationalen Zahlen steht übrigens auch für Quotient, da die Rationalen Zahlen ja alle Zahlen sind, die sich als Bruch (von 2 ganzen Zahlen) darstellen lassen.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Wie sieht eigentlich eine Bruchzahl aus?]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video den Begriff Bruch bzw. Bruchzahl. 

Dieser Begriff kommt schon in der 1. oder 2. Klasse Unterstufe (also 5. oder 6. Schulstufe) vor, daher sollte ihn jeder von euch kennen :)

Sicher weiß jeder von euch, was ein Bruch ist, aber die einzelnen Bestandteile eines Bruchs werden manchmal verwechselt :)

Ein Bruch besteht aus einem Zähler (das, was oberhalb des Bruchstrichs steht) und einem Nenner (das, was unterhalb des Bruchstrichs steht). Je größer der Zähler (bei gleichbleibendem Nenner), desto größer die Bruchzahl.  3/4 ist größer als  1/4.
Je größer der Nenner (bei gleichbleibendem Zähler), desto kleiner die Bruchzahl. 1/4 ist größer als 1/10.

In der Unterstufe unterscheidet man dann noch zwischen "echter Bruch", "unechter Bruch", "uneigentlicher Bruch" und gemischte Zahl. Diese Unterscheidungen sind in der Oberstufe aber nicht mehr so wichtig. Zähler und Nenner musst du aber wissen :) 

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Die Winkelmaß-Einheit Grad]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video die Einheit Grad, die man meistens für Winkel verwendet.

Neben Grad gibt es auch noch die Winkelmaße Bogenmaß (Radianten) und das selten verwendete Gon (früher Neugrad). 

Die Grad-Skala kennt natürlich jeder von euch. Sie geht von 0° bis 360°. Die Bogenmaß-Skala geht von 0 bis 2π und die Gon Skala geht von 0 bis 400 Gon. 

360° entspricht also 2π rad (und 400 Gon). Wie man von Grad in Bogenmaß (Radianten) und umgekehrt umrechnet, erfährst du in einem unserer anderen Videos .

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Die Winkelmaß-Einheit Bogenmaß (Radianten)]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video die Einheit Bogenmaß (Radianten), die man manchmal für Winkel und vor allem für die trigonometrischen Funktionen (Winkelfunktionen) Sinus, Cosinus und Tangens verwendet.

Neben Radianten gibt es auch noch die Winkelmaße Grad und das selten verwendete Gon (früher Neugrad). 

Die Bogenmaß-Skala geht von 0 bis 2π. Die Grad-Skala geht von 0° bis 360° und die Gon Skala geht von 0 bis 400 Gon. 

2π rad (Radianten) entspricht also 360° (und 400 Gon). Wie man von Bogenmaß (Radianten) in Grad und umgekehrt umrechnet, erfährst du in einem unserer anderen Videos.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Winkelsumme]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video den Begriff Winkelsumme. 

Von der Winkelsumme spricht man meistens bei Dreiecken, aber auch bei Vierecken, Fünfecken usw. gibt es eine bestimmte Winkelsumme.
Also bei allen Vielecken bzw. Polygonen gibt es eine bestimmte Winkelsumme.

Die Winkelsumme in einem Dreieck ist 180°, das solltest du auf jeden Fall wissen, in einem Viereck 360°, in einem Fünfeck 540° usw. "Pro Eck" erhöht sich die Winkelsumme also immer um 180°.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Spitzer Winkel und Stumpfer Winkel]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video die Begriffe Spitzer Winkel und Stumpfer Winkel.

Ein spitzer Winkel ist ein Winkel zwischen 0° und 90°
Ein stumpfer Winkel ist ein Winkel zwischen 90° und 180°

Im Video werden noch andere Winkel erklärt, die aber nicht so wichtig sind, weil sie nur sehr, sehr selten vorkommen.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Höhenwinkel, Tiefenwinkel und Sehwinkel]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus die Begriffe Höhenwinkel, Tiefenwinkel und Sehwinkel. Diese kommen vor allem in der Trigonometrie und in Zusammenhang mit den Winkelfunktionen Sinus, Cosinus und Tangens vor.

Der Höhenwinkel ist der Winkel von einer waagrechten Linie (Horizontale) "nach oben"
Der Tiefenwinkel ist der Winkel von einer waagrechten Linie (Horizontale) "nach unten"
Der Sehwinkel ist der gesamte Winkel, unter dem man ein bestimmtes Objekt sieht. Im Video wird alles genau erklärt, Skizzen sind hier eindeutig von Vorteil :)

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Das kartesische Koordinatensystem]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video das kartesische Koordinatensystem. 

Das kartesische Koordinatensystem ist das Koordinatensystem, mit dem du in der Schule immer arbeitest. Es gibt auch andere Koordinatensysteme, aber normalerweise meint man mit "Koordinatensystem" das "Kartesische Koordinatensystem". 

Und dieses Kartesische Koordinatensystem kommt nicht etwa von "Karte" oder so, sondern vom Philosophen und Mathematiker Rene Descartes, der das Kartesische Koordinatensystem begründet bzw. "erfunden" hat.

Meistens ist es 2-dimensional, man hat also eine waagrechte Achse (x-Achse) und eine senkrechte Achse (y-Achse). Im 3-Dimensionalen kommt noch die z-Achse dazu.

Der Ursprung des kartesischen Koordinatensystems ist einfach der Punkt (0/0) im R² (in der Ebene) und der Punkt (0/0/0) im R³ (im Raum). Dort "entspringt" sozusagen das Koordinatensystem.

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        <![CDATA[Was sind denn eigentlich Quadranten?]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus den Begriff Quadrant, der in Zusammenhang mit dem Koordinatensystem im R² vorkommt. 

Es gibt 4 Quadranten. Es sind die 4 "Bereiche" im Koordinatensystem rechts und links von der y-Achse bzw. oberhalb und unterhalb der x-Achse. 

Der 1. Quadrant ist der Bereich oberhalb der x-Achse und rechts von der y-Achse. In diesem Quadranten sind sowohl die x-Werte, als auch die y-Werte positiv. Die Nummerierung der Quadranten erfolgt, ausgehend vom 1. Quadranten, gegen den Uhrzeigersinn. Im Video wird alles genau erklärt :)

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        <![CDATA[Was ist eigentlich ein Vektor?]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video, was ein Vektor eigentlich ist. 

Ein Vektor ist ein Element eines Vektorraums, in diesem Video beschäftigen wir uns allerdings nur mit Vektoren im geometrischen Sinn und mit n-dimensionalen Vektoren, also n-Tupeln. 

Vektoren kommen vor allem in der Ebene (im R²) und im Raum (im R³) vor. Vektoren können als Pfeile dargestellt werden. Sie verlaufen vom Anfangspunkt zum Endpunkt. Die Pfeilspitze zeichnet man am Endpunkt ein. Ein Vektor im R² hat nur 2 Koordinaten, die x- und y-Koordinate, Ein Vektor im R³ hat e Koordinaten, die x- ,y- und z-Koordinate. Du kannst den Vektor berechnen, indem du folgendes berechnest: 
Vektor = Endpunkt minus Anfangspunkt  bzw. 
Vektor = Spitze minus Schaft

Ein Vektor im Koordinatensystem (egal ob R² oder R³) hat KEINEN bestimmten Anfangspunkt. Ein Vektor hat nur eine bestimmte Richtung und eine bestimmte Länge. Man kann einen Vektor also beliebig im Koordinatensystem parallelverschieben. Der Startpunkt des Vektors kann jeder beliebige Punkt im Koordinatensystem sein, nur die Richtung und Länge des Vektors müssen gleich bleiben.

Es gibt auch n-dimensionale Vektoren, vor allem in der Wirtschaftsmathematik. Diese kann man leider nicht mehr im R² oder R³ darstellen. Einen solchen n-dimensionalen Vektor kannst du dir so vorstellen: Nimm an, du hast ein kleines Geschäft und verkaufst 10 Produkte. Dann bilden die einzelnen Preise der Produkte die Einträge des Preisvektors, die einzelnen Verkaufszahlen sind die Einträge des Verkaufsvektors, usw. 
Du erhältst also 10-dimensionale Vektoren für den Preis, die Verkaufszahl, die Herstellungskosten, und so weiter. Mit diesen Vektoren kannst du dann Berechnungen durchführen, fast genauso einfach, als hättest du nur 1 Produkt. Statt einer einzigen Zahl für Preis, Verkaufszahl, usw. hast du dann einfach einen 10-dimensionalen Vektor. Die Berechnungen sind eigentlich genau gleich.

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        <![CDATA[Was bedeutet eigentlich Normal und Orthogonal?]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus die Begriffe Normal und Orthogonal. Diese kommen vor allem in Zusammenhang mit Vektoren und Geraden vor.

2 Geraden stehen normal oder orthogonal aufeinander, wenn sie rechtwinkelig aufeinander sind bzw. einen rechten Winkel einschließen. 

Auch 2 Vektoren stehen normal oder orthogonal aufeinander, wenn sie rechtwinkelig aufeinander sind bzw. einen rechten Winkel einschließen. Das Skalarprodukt der beiden Vektoren ergibt dann den Wert Null.

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        <![CDATA[Was ist eigentlich eine Sekante?]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt unser Tutor Markus, was eine Sekante denn eigentlich ist. 

Eine Sekante ist eine Gerade, die eine Funktion (kann aber auch etwas anderes sein wie ein Kreis) in 2 Punkten schneidet. Im Gegensatz zur Tangente wird der Funktionsgraph nicht nur in einem einzigen Punkt berührt, sondern an diesen 2 bestimmten Punkten geschnitten. 

Der Differenzenquotient im Intervall von [a; b] ist dann genau dasselbe wie die Steigung der Sekante durch eben diese beiden Punkte des Funktionsgraphen an der Stalle a bzw. b. Die Steigung kannst du dann entweder mit der Formel für den Differenzenquotienten oder mit dem Steigungsdreieck berechnen.

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        <![CDATA[Was ist eigentlich eine Tangente?]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video, was denn eigentlich eine Tangente ist. 

Eine Tangente ist eine Gerade, und zwar so eine, die eine Funktion (kann auch etwas anderes wie beispielsweise einen Kreis) nur genau in 1 Punkt berührt. In diesem Berührpunkt ist die Steigung der Funktion genauso groß wie die Steigung der Tangente. 

Die Steigung der Tangente an den Funktionsgraphen (an einer bestimmten Stelle bzw. einem bestimmten Punkt) kannst du mit der 1. Ableitung der Funktion an ebendieser Stelle berechnen. Der Differenzialquotient an dieser Stelle ist auch dasselbe wie die Steigung der Tangente.

Eine Wendetangente ist eine spezielle Tangente, die die Funktion genau im Wendepunkt berührt, die also durch den Wendepunkt der Funktion verläuft. Sie gehört zur Kurvendiskussion dazu, bei manchen Aufgaben musst du dir die Wendetangente einer bestimmten Funktion berechnen.

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        <![CDATA[Strecke, Strahl und Gerade]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video den Unterschied zwischen Strecke, Strahl und Gerade. 

Alle 3 sind gerade Linien. Eine Strecke hat sowohl einen Startpunkt als auch einen Endpunkt. Ein Strahl hat nur einen Startpunkt, aber keinen Endpunkt. Sie geht also in eine Richtung unendlich weiter. Und eine Gerade hat weder einen Startpunkt, noch einen Endpunkt. Sie geht also in beide Richtungen unendlich lang weiter. 

Ein spezieller Strahl bzw. eine spezielle Gerade ist der Zahlenstrahl bzw. die Zahlengerade. Der Zahlenstrahl beginnt bei 0 und hat kein Ende. Die Zahlengerade geht von minus unendlich bis plus unendlich, hat also weder Anfang noch Ende.

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        <![CDATA[Algebra - Was ist ein Term?]]>
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      <video:description>
        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video, was denn ein Term überhaupt ist.

Ein Term ist ein mathematisch sinnvoller Ausdruck. Die "Sprache der Mathematik" besteht aus Termen, die man mit Rechenoperationen aneinanderreiht. Terme sind sozusagen die Wörter der Sprache der Mathematik.

Bei der Gleichung 5x+4 = x²  ist die Zahl 4 die Konstante bzw. der Konstante Term. 5x ist der Lineare Term und x² ist der quadratische Term. 5x+4  "als Ganzes" ist auch ein Term. Auf der linken Seite des "=" steht also ein Term, und auf der rechten Seite auch. Alles zusammen "Als Ganzes" ist es allerdings kein Term mehr, sondern eine Gleichung.

Allerdings ist das + alleine kein Term. Ein + braucht immer noch zusätzlich Buchstaben (Variablen) oder Zahlen, damit der Term mathematisch sinnvoll ist.

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        <![CDATA[Konstante und Konstanter Term]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video, was eine Konstante bzw. ein Konstanter Term ist. 

Eine Konstante bzw. ein Konstanter Term ist einfach eine beliebige reelle Zahl. Sie kann in einer Gleichung vorkommen, in einer Ungleichung, bei einer Funktionsgleichung und so weiter.
Bei der Gleichung 5x+4 = x²  ist die Zahl 4 die Konstante bzw. der Konstante Term. 5x ist der Lineare Term und x² ist der quadratische Term. Die Konstante kann aber auch nur einfach ein Buchstabe sein, der als Platzhalter für eine bestimmte Zahl dient. Beispielsweise:
3x² + b = 5
In dieser Gleichung ist sowohl b als auch 5 eine Konstante bzw. ein Konstanter Term (weil bei diesen beiden kein x, also nicht die Variable, nach der gesucht wird, dabei ist). 

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        <![CDATA[Algebra - Was ist denn eigentlich eine Gleichung?]]>
      </video:title>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus, wie du eine Gleichung erkennen kannst. Es gibt verschiedenste Arten von Gleichungen, im Schulstoff kommen häufig die Lineare Gleichung, Quadratische Gleichung, Gleichung dritten Grades (kubische Gleichung), die Exponentialgleichung und auch die Bruchgleichung vor.

Eine Gleichung kann eine Variable oder mehrere Variablen haben. Wir beschränken uns hier aber hauptsächlich auf eine Gleichung mit nur 1 Variablen. Eine Gleichung hat links und rechts vom Gleichheits-Zeichen " = " einen mathematischen Term stehen, beispielsweise:
5=5
oder 
3x=4
oder 
x²+5x=12

Wenn die Variablen (meistens ist es nur eine einzige) als linearer Term - also mit der "unsichtbaren Hochzahl" 1 - vorkommen, dann spricht man von einer Linearen Gleichung. 

Ein Beispiel wäre:
3x+5=7  oder  -2x+3=0

Eine Lineare Gleichung mit einer Variablen hat entweder keine, eine oder unendlich viele Lösungen. Wenn mehrere Variablen vorkommen, wird es etwas komplizierter: Lineare Gleichungen mit mehreren Variablen haben oft unendlich viele Lösungen. 

Eine Lineare Gleichung mit einer Variablen kannst du normalerweise ganz einfach umformen und lösen. Allerdings kannst du die Gleichung natürlich auch in den Taschenrechner deiner Wahl eintippen und lösen lassen. Das händische Lösen mit Umformungen ist bei Linearen Gleichungen jedoch meist schneller.

Quadratische Gleichungen kannst du mit der Großen Lösungsformel (abc-Formel) oder mit der kleinen Lösungsformel (pq-Formel) lösen. 

Gleichungen dritten Grades oder Exponentialgleichungen sind oft schwierig händisch durch Umformungen zu lösen. Viele Taschenrechner (so auch unser Miranda-Taschenrechner) können solche Gleichungen lösen.

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        <![CDATA[Algebra - Lösbarkeit einer Gleichung]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus den Begriff "Lösbarkeit einer Gleichug". 

Es gibt verschiedenste Arten von Gleichungen, im Schulstoff kommen häufig die Lineare Gleichung, Quadratische Gleichung, Gleichung dritten Grades (kubische Gleichung), die Exponentialgleichung und auch die Bruchgleichung vor.

Eine Gleichung kann eine Variable oder mehrere Variablen haben. Wir beschränken uns hier aber hauptsächlich auf eine Gleichung mit nur 1 Variablen. Eine Gleichung hat links und rechts vom Gleichheits-Zeichen " = " einen mathematischen Term stehen, beispielsweise:
5=5
oder 
3x=4
oder 
x²+5x=12

Wenn so eine Gleichung KEINE Lösung besitzt, also für keinen einzigen Wert für die Variable x erfüllt ist, so ist die Gleichung NICHT lösbar. Wenn die Gleichung MINDESTENS 1 Lösung besitzt, so ist sie LÖSBAR. Die Lösbarkeit einer Gleichung ist also mit der Anzahl der Lösungen der Gleichung verknüpft:
Nicht lösbar .... KEINE Lösung
Lösbar .... Mindestens 1 Lösung

Wenn die Variablen (meistens ist es nur eine einzige) als linearer Term - also mit der "unsichtbaren Hochzahl" 1 - vorkommen, dann spricht man von einer Linearen Gleichung. 

Ein Beispiel wäre:
3x+5=7  oder  -2x+3=0

Eine Lineare Gleichung mit einer Variablen hat entweder keine, eine oder unendlich viele Lösungen. Wenn mehrere Variablen vorkommen, wird es etwas komplizierter: Lineare Gleichungen mit mehreren Variablen haben oft unendlich viele Lösungen. 

Eine Lineare Gleichung mit einer Variablen kannst du normalerweise ganz einfach umformen und lösen. Allerdings kannst du die Gleichung natürlich auch in den Taschenrechner deiner Wahl eintippen und lösen lassen. Das händisch Lösen ist bei Linearen Gleichungen jedoch meist schneller.

Quadratische Gleichungen kannst du mit der Großen Lösungsformel (abc-Formel) oder mit der kleinen Lösungsformel (pq-Formel) lösen. 

Gleichungen dritten Grades oder Exponentialgleichungen sind oft schwierig händisch durch Umformungen zu lösen. Viele Taschenrechner (so auch unser Miranda-Tasch]]>
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        <![CDATA[Was ist denn eigentlich eine Formel?]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus, was denn eine Formel überhaupt ist.  

Formeln gibt es in vielen Wissenschaften, die berühmtesten Formeln kennt man aus der Mathematik und der Physik. Mit einer Formel werden Informationen auf eine möglichst kurze und prägnante Art symbolisch ausgedrückt (man könnte Formeln ja auch verbal "hinschreiben", das wäre dann allerdings viel schwieriger zu lesen). Meistens haben Formeln die Form einer Gleichung. Verschiedene Sätze in der Mathematik können auch durch Formeln ausgedrückt werden.

Ein paar berühmte Formeln sind beispielsweise: 
E=m*c²  ... Formel für die Energie einer Ruhemasse (von Einstein) 
a²+b²=c² ... Satz von Pythagoras
A=r²*pi ... Formel für die Fläche eines Kreises
Die große und die kleine Lösungsformel (abc- und pq-Formel für quadratische Gleichungen)

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Die Binomischen Formeln]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video die 3 verschiedenen binomischen Formeln. Sie heißen Binomische Formel, weil du jeweils einen Binom quadrierst. 

Beim "Ausquadrieren" von binomischen Formeln werden immer wieder Fehler gemacht. Es ist wahrscheinlich die häufigste Fehlerquelle beim Vereinfachen von Termen :)

Im Oberstufenstoff sind die Binomischen Formeln nicht mehr so wichtig, sie kommen aber dennoch immer wieder mal vor. Du solltest also aufpassen, wenn du auf eine solche Formel triffst :)

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Intervall mit runder und eckiger Klammer]]>
      </video:title>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video, was die runden bzw. eckigen Klammern bei Intervallen bedeuten.

Intervalle verwendet man nur bei reellen Zahlen, wenn du also ausdrücken willst, dass du Zahlen von der einen Zahl bis zu der anderen Zahl "verwenden willst". Oder dass Zahlen von der ersten Zahl bis zur zweiten Zahl "vorkommen". 

Die runden Klammern bedeuten, dass diese Zahl NICHT inkludiert ist, z.B:
(3 ; 6) Dieses Intervall sind alle reellen Zahlen von 3 bis 6, aber OHNE 3 und 6. Also alle Zahlen, die größer als 3 sind und kleiner als 6 sind.

Die eckigen Klammern bedeuten, dass die Zahl eben schon inkludiert ist im Intervall, z.B:
[3 ; 6]  Dieses Intervall sind alle reellen Zahlen von 3 bis 6 INKLUSIVE 3 und 6. 3 und 6 sind also auch dabei im Intervall. Also alle Zahlen, die größer oder gleich (mindestens) 3 sind und kleiner oder gleich  (höchstens) 6 sind.

Bei Intervallen kannst du nur runde und eckige Klammern verwenden. Bei Mengen verwendet man geschwungene Klammern {}

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        <![CDATA[Prozent / Promille / ppm]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus, was die Begriffe Prozent, Promille und ppm überhaupt bedeuten. 

Mit diesen 3 Verhältnisangaben lassen sich Größen besser vergleichen. 

Prozent kommt vom Lateinischen "per cento" und bedeutet "von Hundert" bzw. Hundertstel. Beispielsweise bedeutet dann "3% der Leute sind über 190cm groß", dass 3 von hundert Personen über 190cm groß sind. Mit der Prozentangabe kann man dann verschiedene Größen besser vergleichen.

Promille kommt vom Lateinischen "per mille" und bedeutet "von Tausend" bzw. Tausendstel. Beispielsweise bedeutet dann "4 Promille der Leute sind über 200cm groß", dass 4 von tausend Personen über 200cm groß sind. Mit der Promilleangabe kann man, wie mit der Prozentangabe, verschiedene Größen besser vergleichen.

ppm bedeutet "parts per million", also "Teile pro 1 Million Teile" bzw. "von 1 Million" bzw. Millionstel. Der CO2 Gehalt in der Luft in der Erdatmosphäre beträgt derzeit ca. 410 ppm. Das heißt also, dass bei 1 Million Luft-Molekülen 410 CO2- Moleküle sind. Mit ppm kann man also auch verschiedene Größen besser vergleichen.

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        <![CDATA[Das Unendlich-Symbol]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video das Unendlich-Symbol in der Mathematik.

Das Unendlich-Symbol ist einfach eine liegende Acht (bzw. ein liegender Achter auf österreichisch hehe). Ea gibt sowohl "minus unendlich" als auch "plus unendlich" und kommt vor allem bei Zahlenmengen und Intervallen vor.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Die mathematischen Begriffe Potenz, Basis und Exponent]]>
      </video:title>
      <video:description>
        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video die Begriffe Potenz, Basis und Exponent, die oft zusammen vorkommen. 

Beim Term x^3  ist der gesamte Term (also x^3) die Potenz, x ist die Basis und 3 ist der Exponent. Ein anderes Wort für Exponent ist einfach "die Hochzahl". Die Variable steht bei einer Exponentialfunktion in der Hochzahl (also im Exponenten). Deswegen heißt die Exponentialfunktion dann eben auch Exponentialfunktion :)

Beim Term 4^x  ist 4^x die Potenz, 4 ist die Basis und x der Exponent.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Was ist eigentlich ein Monom, Binom bzw. Polynom?]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus die Begriffe Monom, Binom bzw. Polynom.

Ein Polynom ist die Summe (oder Differenz) von mehreren (mindestens 3) Vielfachen von Potenzen einer Variablen, beispielsweise 3+4x+2x² ist ein Polynom (der Variable x). Der Term 3+4x oder 4x+2x² ist ein Binom (bi steht für 2), weil es eben nur 2 Potenzen sind. Und 3 bzw. 4x bzw. 2x² ist jeweils ein Monom.

Ein Binom ist also ein Polynom mit nur 2 Gliedern bzw. die Summe oder Differenz von 2 Monomen. Man spricht von den Binomischen Formeln, weil bei diesen eben ein Binom quadriert wird. 

Ein Monom ist ein Polynom mit nur 1 Glied. 

Von einem Polynom spricht man, wenn es 3 oder mehr Glieder sind (bis unendlich viele). Wenn es nur 1 Glied oder 2 Glieder sind, dann ist es auch ein Polynom, man sagt aber genauer Monom oder Binom dazu. Bei 3 Gliedern spricht man auch von einem Trinom. Die Variable ist meistens x, kann aber auch ein anderer Buchstabe sein, beispielsweise a. 
Dann ist 
5a³+6a²-3a+10  ein Polynom (der Variablen a) und jedes einzelne Glied ist ein Monom.

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        <![CDATA[Was bedeutet eigentlich Fakultät (Faktorielle)?]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video die Rechenvorschrift bzw. Rechenoperation Fakultät (Faktorielle). Diese "Rechnung" wird mit einem Rufzeichen ! abgekürzt.

Faktorielle bedeutet, dass man die jeweilige Zahlen mit allen natürlichen Zahlen, die kleiner sind, multipliziert. 4 Faktorielle ist dann also 4 mal 3 mal 2 mal 1 = 24
4! = 4*3*2*1 = 24

Wenn du den Binomialkoeffizienten mit der Formel berechnen möchtest (was nicht empfehlenswert ist), dann brauchst du Fakultät (Faktorielle). 

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        <![CDATA[Was ist eigentlich eine Unendliche Dezimalzahl?]]>
      </video:title>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus, was eine Unendliche Dezimalzahl ist. 

Eine Unendliche Dezimalzahl ist, wie der Name schon sagt, eine Dezimalzahl, die nach dem Komma unendlich "weitergeht", also nie aufhört bzw. unendlich viele Stellen hat.

Es gibt 2 verschiedene Arten von Unendlichen Dezimalzahlen, die Periodischen Dezimalzahlen und die Unendlichen Dezimalzahlen, die NIE periodisch werden. Bei den Periodischen Dezimalzahlen wiederholt sich eine Zahl (oder Zahlensequenz) unendlich oft, beispielsweise 
"ein Drittel"= 0,333333...

Periodische Dezimalzahlen kann man IMMER als Bruch darstellen, sie sind also Rationale Zahlen. Unendliche Dezimalzahlen, die nie periodisch werden, kann man nicht als Bruch darstellen. Sie sind also Irrationale Zahlen.

Im Gegensatz zu den Unendlichen Dezimalzahlen gibt es noch die Endlichen Dezimalzahlen (diese haben nur eine endliche Anzahl an Nachkommstellen). Endliche Dezimalzahlen kann man IMMER als Bruch darstellen und sie sind IMMER Rationale Zahlen.

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        <![CDATA[Was ist eigentlich eine Endliche Dezimalzahl?]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus, was eine Endliche Dezimalzahl ist. 

Eine Endliche Dezimalzahl ist, wie der Name schon sagt, eine Dezimalzahl, die nach dem Komma irgendwann endet (also "aufhört"). 

Die Zahl 1,346 ist also eine endliche Dezimalzahl, weil nach dem 6er keine Stelle mehr kommt. Es gibt auch Unendliche Dezimalzahlen, die nach dem Komma NIE aufhören. Periodische Dezimalzahlen sind Unendliche Dezimalzahlen. Irrationale Zahlen sind ebenfalls Unendliche Dezimalzahlen.

Endliche Dezimalzahlen kann man IMMER als Bruch darstellen und sie sind IMMER Rationale Zahlen.

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        <![CDATA[Zahlenmengen: Die (echte) Teilmenge]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video den Begriff (echte) Teilmenge, der in Verbindung mit Mengen und Zahlenmengen vorkommt.  

Eine Menge ist genau dann eine Teilmenge einer anderen Menge, wenn alle Zahlen der Teilmenge in der "größeren" Menge vorkommen. Das Wort "echt" kann man dazusagen, muss man aber nicht. 

Alle natürlichen Zahlen sind in den ganzen Zahlen enthalten, daher sind die natürlichen Zahlen eine Teilmenge der ganzen Zahlen. Die ganzen Zahlen sind eine Teilmenge der rationalen Zahlen. Die rationalen Zahlen sind eine Teilmenge der reellen Zahlen und die reellen Zahlen sind eine Teilmenge der komplexen Zahlen.

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        <![CDATA[Zahlengerade und Zahlenstrahl]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video den Unterschied zwischen Zahlengerade und Zahlenstrahl. 

Ganz allgemein, ein Strahl und eine Gerade sind beide gerade Linien. Ein Strahl hat einen Startpunkt, aber keinen Endpunkt. Der Strahl geht also in eine Richtung unendlich weiter. Und eine Gerade hat weder einen Startpunkt, noch einen Endpunkt. Sie geht also in beide Richtungen unendlich lang weiter. 

Ein spezieller Strahl bzw. eine spezielle Gerade ist der Zahlenstrahl bzw. die Zahlengerade. Der Zahlenstrahl beginnt bei 0 und hat kein Ende. Die Zahlengerade geht von minus unendlich bis plus unendlich, hat also weder Anfang noch Ende. Auf der Zahlengerade sind normalerweise die reellen Zahlen abgebildet (oder eventuell auch nur die ganzen Zahlen), auf einem Zahlenstrahl nur die positiven reellen Zahlen mit 0 oder auch die natürlichen Zahlen.

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        <![CDATA[Die Kreiszahl π (Pi) oder "Die wahrscheinlich berühmteste Zahl der Welt"]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video die Kreiszahl π (Pi). π (Pi) ist ein griechische Buchstabe. Die Kreiszahl wird selten auch Ludolphsche Zahl oder Archimedes-Konstante genannt.

π (Pi) gibt das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser an. Dieses Verhältnis ist für ALLE Kreise gleich, egal wie groß sie sind. π = u/d

π (Pi) ist, genauso wie die Eulersche Zahl e, eine irrationale Zahl. Sie geht also nach dem Komma unendlich lang weiter, ohne je periodisch zu werden.

π = 3,14159265358979...

Die Kreiszahl π ist eine der wichtigsten Konstanten in der Mathematik und wahrscheinlich auch die bekannteste Konstante in der Mathematik.

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        <![CDATA[Die Eulersche Zahl e]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video die Eulersche Zahl e. Ja, e ist natürlich ein Buchstabe, aber in der Mathematik ist damit fast immer eine ganz spezielle Zahl gemeint, nämlich die Eulersche Zahl. e ist, genau so wie pi, eine irrationale Zahl. Sie geht also nach dem Komma unendlich lang weiter, ohne je periodisch zu werden.

e = 2,718281828459045...

e ist in der Differential- und Integralrechnung sehr wichtig, und kommt auch bei der Normalverteilung vor (in der Funktionsgleichung der Dichtefunktion). 

e ist die Basis des natürlichen Logarithmus und der natürlichen Exponentialfunktion.
Die Eulersche Zahl e ist eine der wichtigsten Konstanten in der Mathematik. 

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        <![CDATA[Wie sieht eigentlich eine Bruchzahl aus?]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video den Begriff Bruch bzw. Bruchzahl. 

Dieser Begriff kommt schon in der 1. oder 2. Klasse Unterstufe (also 5. oder 6. Schulstufe) vor, daher sollte ihn jeder von euch kennen :)

Sicher weiß jeder von euch, was ein Bruch ist, aber die einzelnen Bestandteile eines Bruchs werden manchmal verwechselt :)

Ein Bruch besteht aus einem Zähler (das, was oberhalb des Bruchstrichs steht) und einem Nenner (das, was unterhalb des Bruchstrichs steht). Je größer der Zähler (bei gleichbleibendem Nenner), desto größer die Bruchzahl.  3/4 ist größer als  1/4.
Je größer der Nenner (bei gleichbleibendem Zähler), desto kleiner die Bruchzahl. 1/4 ist größer als 1/10.

In der Unterstufe unterscheidet man dann noch zwischen "echter Bruch", "unechter Bruch", "uneigentlicher Bruch" und gemischte Zahl. Diese Unterscheidungen sind in der Oberstufe aber nicht mehr so wichtig. Zähler und Nenner musst du aber wissen :) 

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        <![CDATA[Das Unendlich-Symbol]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video das Unendlich-Symbol in der Mathematik.

Das Unendlich-Symbol ist einfach eine liegende Acht (bzw. ein liegender Achter auf österreichisch hehe). Ea gibt sowohl "minus unendlich" als auch "plus unendlich" und kommt vor allem bei Zahlenmengen und Intervallen vor.

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        <![CDATA[Intervall mit runder und eckiger Klammer]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video, was die runden bzw. eckigen Klammern bei Intervallen bedeuten.

Intervalle verwendet man nur bei reellen Zahlen, wenn du also ausdrücken willst, dass du Zahlen von der einen Zahl bis zu der anderen Zahl "verwenden willst". Oder dass Zahlen von der ersten Zahl bis zur zweiten Zahl "vorkommen". 

Die runden Klammern bedeuten, dass diese Zahl NICHT inkludiert ist, z.B:
(3 ; 6) Dieses Intervall sind alle reellen Zahlen von 3 bis 6, aber OHNE 3 und 6. Also alle Zahlen, die größer als 3 sind und kleiner als 6 sind.

Die eckigen Klammern bedeuten, dass die Zahl eben schon inkludiert ist im Intervall, z.B:
[3 ; 6]  Dieses Intervall sind alle reellen Zahlen von 3 bis 6 INKLUSIVE 3 und 6. 3 und 6 sind also auch dabei im Intervall. Also alle Zahlen, die größer oder gleich (mindestens) 3 sind und kleiner oder gleich  (höchstens) 6 sind.

Bei Intervallen kannst du nur runde und eckige Klammern verwenden. Bei Mengen verwendet man geschwungene Klammern {}

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        <![CDATA[Konstante und Konstanter Term]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video, was eine Konstante bzw. ein Konstanter Term ist. 

Eine Konstante bzw. ein Konstanter Term ist einfach eine beliebige reelle Zahl. Sie kann in einer Gleichung vorkommen, in einer Ungleichung, bei einer Funktionsgleichung und so weiter.
Bei der Gleichung 5x+4 = x²  ist die Zahl 4 die Konstante bzw. der Konstante Term. 5x ist der Lineare Term und x² ist der quadratische Term. Die Konstante kann aber auch nur einfach ein Buchstabe sein, der als Platzhalter für eine bestimmte Zahl dient. Beispielsweise:
3x² + b = 5
In dieser Gleichung ist sowohl b als auch 5 eine Konstante bzw. ein Konstanter Term (weil bei diesen beiden kein x, also nicht die Variable, nach der gesucht wird, dabei ist). 

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        <![CDATA[Wurzeln als Potenzen mit rationalen Hochzahlen]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video, was das Wurzel ziehen überhaupt ist und wie man Wurzeln auch als Hochzahlen mit rationalem Exponenten schreiben kann.

Das Wurzel ziehen ist die Umkehrung des Potenzierens. Beispielsweise:
3^3 = 27  , und es gilt natürlich auch nach Umformung:  "Die dritte Wurzel aus 27 = 3" oder 
2^6 = 64  , und es gilt natürlich auch nach Umformung:  "Die sechste Wurzel aus 64 = 2"

Die dritte Wurzel nennt man auch Kubikwurzel. Bei der "zweiten" Wurzel sagt man normalerweise nur Wurzel oder Quadratwurzel, und den 2er bei der Wurzel schreibt man auch nicht. 

Du kannst Wurzeln auch als Potenzen mit rationalem Exponenten (rationaler Hochzahl) schreiben.
"Die b-te Wurzel aus x hoch a" = x^(a/b)

Die Formeln für das Wurzel ziehen sind nicht so schwierig und kommen immer wieder vor. Also am besten auswendig lernen :)
Für alle anderen: Einfach in der Formelsammlung deiner Wahl (am besten in der Miranda Formelsammlung) die Formel nachschlagen :)

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        <![CDATA[Division und Quotient]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video die Begriffe Division und Quotient. 

Bestimmt weiß jeder von euch, was eine Division ist. Eine Division ist eine "geteilt durch" bzw. "dividiert durch" Rechnung. Der Doppelpunkt ist das Zeichen für die Division, ein Verhältnis, beispielsweise "3 zu 2" ist eigentlich auch eine Division, nämlich 3:2. Der Bruchstrich ist auch ein Divisions-Zeichen.

Der Quotient ist das Ergebnis einer Division. Deswegen kommt "Quotient" auch bei den mathematischen Begriffen "Differenzenquotient" und Differenzialquotient" vor. Bei den Formeln für diese Begriffe ist ja eine Division dabei.

Das Symbol Q für die Rationalen Zahlen steht übrigens auch für Quotient, da die Rationalen Zahlen ja alle Zahlen sind, die sich als Bruch (von 2 ganzen Zahlen) darstellen lassen.

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        <![CDATA[Multiplikation, Produkt und Faktor]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video die Begriffe Multiplikation, Produkt und Faktor. 

Bestimmt weiß jeder von euch, was eine Multiplikation ist. Eine Multiplikation ist eine "mal" Rechnung. Der Punkt (in mittlerer Höhe) ist das Zeichen für die Multiplikation.

Das Produkt ist das Ergebnis einer Multiplikation. Deswegen kommt "Produkt" auch beispielsweise beim Begriff Skalarprodukt vor. Beim Skalarprodukt werden ja 2 Vektoren multipliziert, und man erhält eine Zahl (Skalar ist ein anderes Wort für Zahl).

Der Faktor ist einer der beiden "Teile" der Multiplikation. Man sagt: "Faktor mal Faktor = Produkt"

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        <![CDATA[Die Binomischen Formeln]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video die 3 verschiedenen binomischen Formeln. Sie heißen Binomische Formel, weil du jeweils einen Binom quadrierst. 

Beim "Ausquadrieren" von binomischen Formeln werden immer wieder Fehler gemacht. Es ist wahrscheinlich die häufigste Fehlerquelle beim Vereinfachen von Termen :)

Im Oberstufenstoff sind die Binomischen Formeln nicht mehr so wichtig, sie kommen aber dennoch immer wieder mal vor. Du solltest also aufpassen, wenn du auf eine solche Formel triffst :)

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        <![CDATA[Algebra - Was ist ein Term?]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video, was denn ein Term überhaupt ist.

Ein Term ist ein mathematisch sinnvoller Ausdruck. Die "Sprache der Mathematik" besteht aus Termen, die man mit Rechenoperationen aneinanderreiht. Terme sind sozusagen die Wörter der Sprache der Mathematik.

Bei der Gleichung 5x+4 = x²  ist die Zahl 4 die Konstante bzw. der Konstante Term. 5x ist der Lineare Term und x² ist der quadratische Term. 5x+4  "als Ganzes" ist auch ein Term. Auf der linken Seite des "=" steht also ein Term, und auf der rechten Seite auch. Alles zusammen "Als Ganzes" ist es allerdings kein Term mehr, sondern eine Gleichung.

Allerdings ist das + alleine kein Term. Ein + braucht immer noch zusätzlich Buchstaben (Variablen) oder Zahlen, damit der Term mathematisch sinnvoll ist.

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        <![CDATA[Was ist denn eigentlich eine Formel?]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus, was denn eine Formel überhaupt ist.  

Formeln gibt es in vielen Wissenschaften, die berühmtesten Formeln kennt man aus der Mathematik und der Physik. Mit einer Formel werden Informationen auf eine möglichst kurze und prägnante Art symbolisch ausgedrückt (man könnte Formeln ja auch verbal "hinschreiben", das wäre dann allerdings viel schwieriger zu lesen). Meistens haben Formeln die Form einer Gleichung. Verschiedene Sätze in der Mathematik können auch durch Formeln ausgedrückt werden.

Ein paar berühmte Formeln sind beispielsweise: 
E=m*c²  ... Formel für die Energie einer Ruhemasse (von Einstein) 
a²+b²=c² ... Satz von Pythagoras
A=r²*pi ... Formel für die Fläche eines Kreises
Die große und die kleine Lösungsformel (abc- und pq-Formel für quadratische Gleichungen)

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Algebra - Was ist denn eigentlich eine Gleichung?]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus, wie du eine Gleichung erkennen kannst. Es gibt verschiedenste Arten von Gleichungen, im Schulstoff kommen häufig die Lineare Gleichung, Quadratische Gleichung, Gleichung dritten Grades (kubische Gleichung), die Exponentialgleichung und auch die Bruchgleichung vor.

Eine Gleichung kann eine Variable oder mehrere Variablen haben. Wir beschränken uns hier aber hauptsächlich auf eine Gleichung mit nur 1 Variablen. Eine Gleichung hat links und rechts vom Gleichheits-Zeichen " = " einen mathematischen Term stehen, beispielsweise:
5=5
oder 
3x=4
oder 
x²+5x=12

Wenn die Variablen (meistens ist es nur eine einzige) als linearer Term - also mit der "unsichtbaren Hochzahl" 1 - vorkommen, dann spricht man von einer Linearen Gleichung. 

Ein Beispiel wäre:
3x+5=7  oder  -2x+3=0

Eine Lineare Gleichung mit einer Variablen hat entweder keine, eine oder unendlich viele Lösungen. Wenn mehrere Variablen vorkommen, wird es etwas komplizierter: Lineare Gleichungen mit mehreren Variablen haben oft unendlich viele Lösungen. 

Eine Lineare Gleichung mit einer Variablen kannst du normalerweise ganz einfach umformen und lösen. Allerdings kannst du die Gleichung natürlich auch in den Taschenrechner deiner Wahl eintippen und lösen lassen. Das händische Lösen mit Umformungen ist bei Linearen Gleichungen jedoch meist schneller.

Quadratische Gleichungen kannst du mit der Großen Lösungsformel (abc-Formel) oder mit der kleinen Lösungsformel (pq-Formel) lösen. 

Gleichungen dritten Grades oder Exponentialgleichungen sind oft schwierig händisch durch Umformungen zu lösen. Viele Taschenrechner (so auch unser Miranda-Taschenrechner) können solche Gleichungen lösen.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Algebra - Lösbarkeit einer Gleichung]]>
      </video:title>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus den Begriff "Lösbarkeit einer Gleichug". 

Es gibt verschiedenste Arten von Gleichungen, im Schulstoff kommen häufig die Lineare Gleichung, Quadratische Gleichung, Gleichung dritten Grades (kubische Gleichung), die Exponentialgleichung und auch die Bruchgleichung vor.

Eine Gleichung kann eine Variable oder mehrere Variablen haben. Wir beschränken uns hier aber hauptsächlich auf eine Gleichung mit nur 1 Variablen. Eine Gleichung hat links und rechts vom Gleichheits-Zeichen " = " einen mathematischen Term stehen, beispielsweise:
5=5
oder 
3x=4
oder 
x²+5x=12

Wenn so eine Gleichung KEINE Lösung besitzt, also für keinen einzigen Wert für die Variable x erfüllt ist, so ist die Gleichung NICHT lösbar. Wenn die Gleichung MINDESTENS 1 Lösung besitzt, so ist sie LÖSBAR. Die Lösbarkeit einer Gleichung ist also mit der Anzahl der Lösungen der Gleichung verknüpft:
Nicht lösbar .... KEINE Lösung
Lösbar .... Mindestens 1 Lösung

Wenn die Variablen (meistens ist es nur eine einzige) als linearer Term - also mit der "unsichtbaren Hochzahl" 1 - vorkommen, dann spricht man von einer Linearen Gleichung. 

Ein Beispiel wäre:
3x+5=7  oder  -2x+3=0

Eine Lineare Gleichung mit einer Variablen hat entweder keine, eine oder unendlich viele Lösungen. Wenn mehrere Variablen vorkommen, wird es etwas komplizierter: Lineare Gleichungen mit mehreren Variablen haben oft unendlich viele Lösungen. 

Eine Lineare Gleichung mit einer Variablen kannst du normalerweise ganz einfach umformen und lösen. Allerdings kannst du die Gleichung natürlich auch in den Taschenrechner deiner Wahl eintippen und lösen lassen. Das händisch Lösen ist bei Linearen Gleichungen jedoch meist schneller.

Quadratische Gleichungen kannst du mit der Großen Lösungsformel (abc-Formel) oder mit der kleinen Lösungsformel (pq-Formel) lösen. 

Gleichungen dritten Grades oder Exponentialgleichungen sind oft schwierig händisch durch Umformungen zu lösen. Viele Taschenrechner (so auch unser Miranda-Tasch]]>
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        <![CDATA[Was ist eigentlich eine normierte quadratische Gleichung?]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus, wie du eine Normierte Quadratische Gleichung (mit einer Variablen) erkennst. Die höchste Potenz, in der die Variable (meist x) vorkommt, ist 2, also "x hoch 2". Und vor dem x² steht eine unsichtbare 1.

Die sogenannte normierte quadratische Gleichung sieht also allgemein so aus:
x²+px+q=0
also beispielsweise ist 
x²+3x-5=0  
eine normierte Gleichung. 

Eine normierte quadratische Gleichung kannst du mithilfe der Kleinen Lösungsformel (pq-Formel) lösen.

Jede quadratische Gleichung hat entweder keine, eine oder 2 (reelle) Lösungen. Komplexe Lösungen gibt es immer genau 2. Du kannst eine quadratische Gleichung mit der Kleinen Lösungsformel oder mit der Großen Lösungsformel lösen. Die Anzahl der (reellen) Lösungen hängt von der Diskriminante ab. Die Diskriminante ist der Ausdruck, der bei der Lösungsformel unter der Wurzel steht. 

Du kannst die Lösungen von quadratischen Gleichungen auch graphisch darstellen. Es sind die Nullstellen, also die Schnittpunkte mit der x-Achse, der jeweiligen quadratischen Funktion.

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        <![CDATA[Was ist eigentlich die Kleine Lösungsformel (pq-Formel)?]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus die Kleine Lösungsformel (oft auch pq-Formel genannt), die du zum Lösen von Quadratischen Gleichungen brauchst. Allerdings kannst du die Kleine Lösungsformel nur bei der sogenannten "normierten quadratischen Gleichung" x²+px+q=0 anwenden. 

Jede quadratische Gleichung hat immer entweder keine, eine oder 2 (reelle) Lösungen (komplexe Lösungen gibt es immer genau 2). Die Anzahl der (reellen) Lösungen hängt von der Diskriminante ab. Die Diskriminante ist der Ausdruck, der bei der Lösungsformel unter der Wurzel steht. 

Du kannst die Lösungen von quadratischen Gleichungen auch graphisch darstellen. Es sind die Nullstellen, also die Schnittpunkte mit der x-Achse, der jeweiligen quadratischen Funktion.

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        <![CDATA[Quadratische Funktion und Parabel]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus die Begriffe Quadratische Funktion und Parabel. 

Eine quadratische Funktion kann auch als Polynomfunktion zweiten Grades angesehen werden, da die höchste Potenz, in der x vorkommt, 2 ist. Eine quadratische Funktion hat also diese allgemeine Funktionsgleichung:
f(x)=a*x² + b*x + c

Eine quadratische Funktion ist immer parabelförmig, der Funktionsgraph hat also die Form einer bestimmten Kurve, einer sogenannten Parabel. So eine Parabel hat immer einen Scheitelpunkt. Dieser ist entweder ein Hochpunkt oder Tiefpunkt. Wenn a positiv ist, dann ist die Parabel positiv gekrümmt (nach oben offen), wenn a negativ ist, dann ist die Parabel negativ gekrümmt (nach unten offen). 

Wenn b=0 ist, dann ist die quadratische Funktion symmetrisch zur y-Achse. Dann ist sie eine gerade Funktion.

Die Parabel schneidet die y-Achse immer im Punkt (0/c).

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        <![CDATA[Das kartesische Koordinatensystem]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video das kartesische Koordinatensystem. 

Das kartesische Koordinatensystem ist das Koordinatensystem, mit dem du in der Schule immer arbeitest. Es gibt auch andere Koordinatensysteme, aber normalerweise meint man mit "Koordinatensystem" das "Kartesische Koordinatensystem". 

Und dieses Kartesische Koordinatensystem kommt nicht etwa von "Karte" oder so, sondern vom Philosophen und Mathematiker Rene Descartes, der das Kartesische Koordinatensystem begründet bzw. "erfunden" hat.

Meistens ist es 2-dimensional, man hat also eine waagrechte Achse (x-Achse) und eine senkrechte Achse (y-Achse). Im 3-Dimensionalen kommt noch die z-Achse dazu.

Der Ursprung des kartesischen Koordinatensystems ist einfach der Punkt (0/0) im R² (in der Ebene) und der Punkt (0/0/0) im R³ (im Raum). Dort "entspringt" sozusagen das Koordinatensystem.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Was ist eigentlich der Ursprung bzw. Koordinatenursprung?]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video, was der Koordinatenursprung bzw. Ursprung eigentlich ist. 

Der Ursprung des kartesischen Koordinatensystems ist einfach der Punkt (0/0) im R² (in der Ebene) und der Punkt (0/0/0) im R³ (im Raum). Dort "entspringt" sozusagen das Koordinatensystem.

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        <![CDATA[Was sind denn eigentlich Quadranten?]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus den Begriff Quadrant, der in Zusammenhang mit dem Koordinatensystem im R² vorkommt. 

Es gibt 4 Quadranten. Es sind die 4 "Bereiche" im Koordinatensystem rechts und links von der y-Achse bzw. oberhalb und unterhalb der x-Achse. 

Der 1. Quadrant ist der Bereich oberhalb der x-Achse und rechts von der y-Achse. In diesem Quadranten sind sowohl die x-Werte, als auch die y-Werte positiv. Die Nummerierung der Quadranten erfolgt, ausgehend vom 1. Quadranten, gegen den Uhrzeigersinn. Im Video wird alles genau erklärt :)

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        <![CDATA[Was ist eigentlich ein Vektor?]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video, was ein Vektor eigentlich ist. 

Ein Vektor ist ein Element eines Vektorraums, in diesem Video beschäftigen wir uns allerdings nur mit Vektoren im geometrischen Sinn und mit n-dimensionalen Vektoren, also n-Tupeln. 

Vektoren kommen vor allem in der Ebene (im R²) und im Raum (im R³) vor. Vektoren können als Pfeile dargestellt werden. Sie verlaufen vom Anfangspunkt zum Endpunkt. Die Pfeilspitze zeichnet man am Endpunkt ein. Ein Vektor im R² hat nur 2 Koordinaten, die x- und y-Koordinate, Ein Vektor im R³ hat e Koordinaten, die x- ,y- und z-Koordinate. Du kannst den Vektor berechnen, indem du folgendes berechnest: 
Vektor = Endpunkt minus Anfangspunkt  bzw. 
Vektor = Spitze minus Schaft

Ein Vektor im Koordinatensystem (egal ob R² oder R³) hat KEINEN bestimmten Anfangspunkt. Ein Vektor hat nur eine bestimmte Richtung und eine bestimmte Länge. Man kann einen Vektor also beliebig im Koordinatensystem parallelverschieben. Der Startpunkt des Vektors kann jeder beliebige Punkt im Koordinatensystem sein, nur die Richtung und Länge des Vektors müssen gleich bleiben.

Es gibt auch n-dimensionale Vektoren, vor allem in der Wirtschaftsmathematik. Diese kann man leider nicht mehr im R² oder R³ darstellen. Einen solchen n-dimensionalen Vektor kannst du dir so vorstellen: Nimm an, du hast ein kleines Geschäft und verkaufst 10 Produkte. Dann bilden die einzelnen Preise der Produkte die Einträge des Preisvektors, die einzelnen Verkaufszahlen sind die Einträge des Verkaufsvektors, usw. 
Du erhältst also 10-dimensionale Vektoren für den Preis, die Verkaufszahl, die Herstellungskosten, und so weiter. Mit diesen Vektoren kannst du dann Berechnungen durchführen, fast genauso einfach, als hättest du nur 1 Produkt. Statt einer einzigen Zahl für Preis, Verkaufszahl, usw. hast du dann einfach einen 10-dimensionalen Vektor. Die Berechnungen sind eigentlich genau gleich.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Ös]]>
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        <![CDATA[Was ist eigentlich ein Richtungsvektor?]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video, was ein Richtungsvektor eigentlich ist. 

Der Begriff Richtungsvektor kommt in der Mathematik vor allem bei der Parameterdarstellung von Geraden vor. Denn bei dieser Darstellung benötigt man einen Punkt, der auf der Geraden liegt, und die Richtung, in die die Gerade "geht", also den Richtungsvektor der Geraden. Es gibt nämlich auch andere Geradendarstellungen, bei denen man den Normalvektor der Geraden benötigt. Dieser Normalvektor steht normal, also rechtwinkelig, auf den Richtungsvektor. Bei der Vektorrechnung kommt der Begriff Richtungsvektor abseits der Parameterdarstellung von Geraden eigentlich nicht vor. Der Begriff Normalvektor kommt allerdings relativ häufig vor.

Ein Normalvektor ist ein Vektor, der normal (also rechtwinkelig) auf einen anderen Vektor steht. Das Skalarprodukt der beiden Vektoren ist gleich null. Im R² bildest du den Normalvektor (von einem einem bestimmten Vektor), indem du x- und y-Koordinate des Vektors vertauschst und eines der beiden Vorzeichen änderst. Im R³ funktioniert dieses "Verfahren" nicht mehr. Im R³ musst du einen Normalvektor mithilfe des Skalarprodukts finden.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Der Normalvektor]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video, was ein Normalvektor eigentlich ist. 

Ein Normalvektor ist ein Vektor, der normal (also rechtwinkelig) auf einen anderen Vektor steht. Das Skalarprodukt der beiden Vektoren ist gleich null. Im R² bildest du den Normalvektor (von einem einem bestimmten Vektor), indem du x- und y-Koordinate des Vektors vertauschst und eines der beiden Vorzeichen änderst. Im R³ funktioniert dieses "Verfahren" nicht mehr. Im R³ musst du einen Normalvektor mithilfe des Skalarprodukts finden.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Was bedeutet eigentlich Normal und Orthogonal?]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus die Begriffe Normal und Orthogonal. Diese kommen vor allem in Zusammenhang mit Vektoren und Geraden vor.

2 Geraden stehen normal oder orthogonal aufeinander, wenn sie rechtwinkelig aufeinander sind bzw. einen rechten Winkel einschließen. 

Auch 2 Vektoren stehen normal oder orthogonal aufeinander, wenn sie rechtwinkelig aufeinander sind bzw. einen rechten Winkel einschließen. Das Skalarprodukt der beiden Vektoren ergibt dann den Wert Null.

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        <![CDATA[Vektorrechnung - Das Skalarprodukt]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus, was das sogenannte Skalarprodukt ist. 

Das Skalarprodukt braucht man beim Rechnen mit Vektoren. Mit dem Skalarprodukt kannst du überprüfen, ob 2 Vektoren normal aufeinander stehen (also im rechten Winkel aufeinander stehen). 

Beim Skalarprodukt multipliziert man 2 Vektoren miteinander. Wie genau, wird im Video erklärt. Das Ergebnis ist aber KEIN Vektor, sondern eine Zahl (ein Skalar). Wenn das Skalarprodukt von 2 Vektoren die Zahl Null ergibt, dann stehen die beiden Vektoren rechtwinkelig aufeinander.

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        <![CDATA[Strecke, Strahl und Gerade]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video den Unterschied zwischen Strecke, Strahl und Gerade. 

Alle 3 sind gerade Linien. Eine Strecke hat sowohl einen Startpunkt als auch einen Endpunkt. Ein Strahl hat nur einen Startpunkt, aber keinen Endpunkt. Sie geht also in eine Richtung unendlich weiter. Und eine Gerade hat weder einen Startpunkt, noch einen Endpunkt. Sie geht also in beide Richtungen unendlich lang weiter. 

Ein spezieller Strahl bzw. eine spezielle Gerade ist der Zahlenstrahl bzw. die Zahlengerade. Der Zahlenstrahl beginnt bei 0 und hat kein Ende. Die Zahlengerade geht von minus unendlich bis plus unendlich, hat also weder Anfang noch Ende.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Die Lagebeziehungen im R³ - Parallel, Ident, Schneidend und Windschief]]>
      </video:title>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus die verschiedenen Lagebeziehungen von Geraden im R³, also im 3-dimensionalen Raum.

Im R³ gibt es 4 verschiedene Lagebeziehungen: parallel, ident, schneidend und windschief. "Normal aufeinander" ist keine eigene Lagebeziehung, sondern eine Spezialform von schneidend. Die Geraden schneiden sich hier im rechten Winkel. 

Parallel bedeutet, dass sich die Geraden nie schneiden, und ident bedeutet, dass die beiden Geraden "aufeinander liegen". Windschief bedeutet, dass die beiden Geraden zwar nicht parallel sind, sich aber trotzdem nicht schneiden. 

Man kann diese Lagebeziehungen rechnerisch feststellen, was allerdings im R³ nicht so einfach ist, da man im R³ Geraden nur mit der sogenannten Parameterdarstellung darstellen kann. Um die möglichen Schnittpunkte festzustellen, musst du die beiden Geraden "schneiden", also gleichsetzen. Wenn du genau 1 Lösung erhältst, sind die Geraden schneidend. Bei unendlich vielen Lösungen sind sie ident, und bei keiner Lösung sind sie entweder parallel oder windschief.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Was ist eigentlich eine Parameterfreie Geradengleichung?]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus, was eine parameterfreie Geradengleichung ist.

Es gibt verschiedene Darstellungsformen von Geraden: die Parameterdarstellung, die "allgemeine Geradengleichung" (oder auch implizite Geradengleichung genannt), die Geradengleichung in der Form y=kx+d (auch explizite Geradengleichung genannt) und die Normalvektordarstellung einer Geraden.

Für die Parameterdarstellung einer Geraden brauchst du einen Punkt, der auf der Geraden liegt, einen Parameter (meist als t bezeichnet) und den Richtungsvektor der Geraden (in welche Richtung die Gerade verläuft). Den Punkt und den Richtungsvektor musst du in Vektorform aufschreiben. Hier wird also die Gerade in Vektorform dargestellt. Die Parameterdarstellung einer Geraden ist dann eben NICHT parameterfrei. Alle anderen Darstellungsformen von Geraden sind parameterfreie Geradengleichungen.

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        <![CDATA[Das Parallelogramm]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video alles über die geometrische Figur des Parallelogramms. 

Ein Parallelogramm ist ein Rechteck, das "verdreht" wurde. Die Winkel zwischen den Seiten sind also keine rechten Winkel mehr. Die beiden gegenüberliegenden Seiten sind jeweils gleich lang und die beiden schräg gegenüberliegenden Winkel sind jeweils gleich groß.
Die Diagonalen schneiden sich nicht im rechten Winkel, aber sie halbieren sich. 

Die Formel für den Flächeninhalt lautet: A=a*ha  oder  A=b*hb
Die Formel für den Umfang lautet: u=2*a+2*b

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        <![CDATA[Raute (Rhombus)]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video alles über die geometrische Figur der Raute bzw. des Rhombus. Rhombus ist einfach nur ein anderes Wort für Raute. 

Eine Raute ist ein spezielles Parallelogramm mit 4 gleich langen Seiten. Die Seiten schneiden sich bei einem Rhombus NICHT im rechten Winkel. Aber die Diagonalen der Raute schneiden sich im rechten Winkel und halbieren sich.  

Die Formel für den Flächeninhalt lautet: A=a*h  oder  A=(e*f)/2
Die Formel für den Umfang lautet: u=4*a

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        <![CDATA[Das Trapez]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video alles über das Trapez. Damit ist natürlich nicht das Trapez von Artisten gemeint (davon hat Markus keine Ahnung), sondern die geometrische Figur :D

Bei einem allgemeinen Trapez sind alle 4 Seiten verschieden lang. Die Basis a und die Seite c sind parallel. Die Diagonalen halbieren sich nicht und schneiden sich nicht im rechten Winkel. Alle Winkel sind bei einem allgemeinen Trapez verschieden groß.

Die Formel für den Flächeninhalt lautet: A=(a+c)*h/2
Die Formel für den Umfang lautet: u=a+b+c+d

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        <![CDATA[Kreis, Radius & Durchmesser]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video die Begriffe Kreis, Radius und Durchmesser. 

Bestimmt weiß jeder von euch, was ein Kreis ist. Bei einem Kreis ist jeder Punkt der Kreislinie vom Mittelpunkt des Kreises gleich weit entfernt. Der Abstand vom Mittelpunkt zur Kreislinie wird Radius genannt. Der Durchmesser ist die Länge von einer Seite des Kreises zur anderen durch den Mittelpunkt. Der Durchmesser ist doppelt so lang wie der Radius.

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        <![CDATA[Das Rechtwinkelige Dreieck]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video das Rechtwinkelige Dreieck. Es ist wahrscheinlich das wichtigste der verschiedenen Dreiecke, weil man sowohl den Satz von Pythagoras, als auch die Winkelfunktionen Sinus, Cosinus und Tangens in einem Rechtwinkeligen Dreieck anwenden kann.

Ein Rechtwinkeliges Dreieck besitzt genau einen rechten Winkel (eh klar, wie der Name schon sagt). Die beiden anderen Winkel sind beide spitz. Die längste Seite in einem rechtwinkeligen Dreieck ist die sogenannte Hypotenuse, die anderen beiden Seiten sind die sogenannten Katheten. Die Hypotenuse liegt immer gegenüber vom rechten Winkel.

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        <![CDATA[Die Winkelmaß-Einheit Bogenmaß (Radianten)]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video die Einheit Bogenmaß (Radianten), die man manchmal für Winkel und vor allem für die trigonometrischen Funktionen (Winkelfunktionen) Sinus, Cosinus und Tangens verwendet.

Neben Radianten gibt es auch noch die Winkelmaße Grad und das selten verwendete Gon (früher Neugrad). 

Die Bogenmaß-Skala geht von 0 bis 2π. Die Grad-Skala geht von 0° bis 360° und die Gon Skala geht von 0 bis 400 Gon. 

2π rad (Radianten) entspricht also 360° (und 400 Gon). Wie man von Bogenmaß (Radianten) in Grad und umgekehrt umrechnet, erfährst du in einem unserer anderen Videos.

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        <![CDATA[Die Winkelmaß-Einheit Grad]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video die Einheit Grad, die man meistens für Winkel verwendet.

Neben Grad gibt es auch noch die Winkelmaße Bogenmaß (Radianten) und das selten verwendete Gon (früher Neugrad). 

Die Grad-Skala kennt natürlich jeder von euch. Sie geht von 0° bis 360°. Die Bogenmaß-Skala geht von 0 bis 2π und die Gon Skala geht von 0 bis 400 Gon. 

360° entspricht also 2π rad (und 400 Gon). Wie man von Grad in Bogenmaß (Radianten) und umgekehrt umrechnet, erfährst du in einem unserer anderen Videos .

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        <![CDATA[Spitzer Winkel und Stumpfer Winkel]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video die Begriffe Spitzer Winkel und Stumpfer Winkel.

Ein spitzer Winkel ist ein Winkel zwischen 0° und 90°
Ein stumpfer Winkel ist ein Winkel zwischen 90° und 180°

Im Video werden noch andere Winkel erklärt, die aber nicht so wichtig sind, weil sie nur sehr, sehr selten vorkommen.

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        <![CDATA[Winkelsumme]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video den Begriff Winkelsumme. 

Von der Winkelsumme spricht man meistens bei Dreiecken, aber auch bei Vierecken, Fünfecken usw. gibt es eine bestimmte Winkelsumme.
Also bei allen Vielecken bzw. Polygonen gibt es eine bestimmte Winkelsumme.

Die Winkelsumme in einem Dreieck ist 180°, das solltest du auf jeden Fall wissen, in einem Viereck 360°, in einem Fünfeck 540° usw. "Pro Eck" erhöht sich die Winkelsumme also immer um 180°.

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        <![CDATA[Das Rechtwinkelige Dreieck]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video das Rechtwinkelige Dreieck. Es ist wahrscheinlich das wichtigste der verschiedenen Dreiecke, weil man sowohl den Satz von Pythagoras, als auch die Winkelfunktionen Sinus, Cosinus und Tangens in einem Rechtwinkeligen Dreieck anwenden kann.

Ein Rechtwinkeliges Dreieck besitzt genau einen rechten Winkel (eh klar, wie der Name schon sagt). Die beiden anderen Winkel sind beide spitz. Die längste Seite in einem rechtwinkeligen Dreieck ist die sogenannte Hypotenuse, die anderen beiden Seiten sind die sogenannten Katheten. Die Hypotenuse liegt immer gegenüber vom rechten Winkel.

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        <![CDATA[Hypotenuse und Kathete]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video die Begriffe Hypotenuse und Kathete.  

Die Hypotenuse kommt nur in einem rechtwinkeligen Dreieck vor und ist immer die längste Seite in einem rechtwinkeligen Dreieck. Du kannst sie ganz einfach finden, denn sie liegt immer gegenüber vom rechten Winkel in einem Dreieck. Die anderen beiden Seiten im rechtwinkeligen Dreieck nennt man Katheten. Die beiden Katheten schließen den rechten Winkel ein und müssen jeweils kürzer sein als die Hypotenuse.

Im rechtwinkeligen Dreieck gilt auch der berühmte Satz von Pythagoras: a² + b² = c²
In dieser Formel sind a und b die Katheten, und c ist die Hypotenuse. 

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        <![CDATA[Gegenkathete, Ankathete und Hypotenuse im Rechtwinkeligen Dreieck]]>
      </video:title>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video die Begriffe Hypotenuse und Kathete.  

Die Hypotenuse kommt nur in einem rechtwinkeligen Dreieck vor und ist immer die längste Seite in einem rechtwinkeligen Dreieck. Du kannst sie ganz einfach finden, denn sie liegt immer gegenüber vom rechten Winkel in einem Dreieck. Die anderen beiden Seiten im rechtwinkeligen Dreieck nennt man Katheten. Die beiden Katheten schließen den rechten Winkel ein und müssen jeweils kürzer sein als die Hypotenuse.

Die Begriffe Ankathete und Gegenkathete sind für die Winkelfunktionen Sinus, Cosinus und Tangens sehr wichtig. Die Ankathete ist dabei die Kathete, die am gesuchten Winkel ANliegt. Die Gegenkathete ist die Kathete, die GEGENüber vom gesuchten Winkel liegt.

Im rechtwinkeligen Dreieck gilt auch der berühmte Satz von Pythagoras: a² + b² = c²
In dieser Formel sind a und b die Katheten, und c ist die Hypotenuse. 

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        <![CDATA[Die Winkelmaß-Einheit Grad]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video die Einheit Grad, die man meistens für Winkel verwendet.

Neben Grad gibt es auch noch die Winkelmaße Bogenmaß (Radianten) und das selten verwendete Gon (früher Neugrad). 

Die Grad-Skala kennt natürlich jeder von euch. Sie geht von 0° bis 360°. Die Bogenmaß-Skala geht von 0 bis 2π und die Gon Skala geht von 0 bis 400 Gon. 

360° entspricht also 2π rad (und 400 Gon). Wie man von Grad in Bogenmaß (Radianten) und umgekehrt umrechnet, erfährst du in einem unserer anderen Videos .

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        <![CDATA[Die Winkelmaß-Einheit Bogenmaß (Radianten)]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video die Einheit Bogenmaß (Radianten), die man manchmal für Winkel und vor allem für die trigonometrischen Funktionen (Winkelfunktionen) Sinus, Cosinus und Tangens verwendet.

Neben Radianten gibt es auch noch die Winkelmaße Grad und das selten verwendete Gon (früher Neugrad). 

Die Bogenmaß-Skala geht von 0 bis 2π. Die Grad-Skala geht von 0° bis 360° und die Gon Skala geht von 0 bis 400 Gon. 

2π rad (Radianten) entspricht also 360° (und 400 Gon). Wie man von Bogenmaß (Radianten) in Grad und umgekehrt umrechnet, erfährst du in einem unserer anderen Videos.

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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video den Begriff Winkelsumme. 

Von der Winkelsumme spricht man meistens bei Dreiecken, aber auch bei Vierecken, Fünfecken usw. gibt es eine bestimmte Winkelsumme.
Also bei allen Vielecken bzw. Polygonen gibt es eine bestimmte Winkelsumme.

Die Winkelsumme in einem Dreieck ist 180°, das solltest du auf jeden Fall wissen, in einem Viereck 360°, in einem Fünfeck 540° usw. "Pro Eck" erhöht sich die Winkelsumme also immer um 180°.

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      </video:title>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video die Begriffe Spitzer Winkel und Stumpfer Winkel.

Ein spitzer Winkel ist ein Winkel zwischen 0° und 90°
Ein stumpfer Winkel ist ein Winkel zwischen 90° und 180°

Im Video werden noch andere Winkel erklärt, die aber nicht so wichtig sind, weil sie nur sehr, sehr selten vorkommen.

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        <![CDATA[Volumen]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video den Begriff Volumen. 

Das Volumen ist der räumliche Inhalt eines geometrischen Körpers (Kugel, Kegel, Prisma, Pyramide,...) und wird oft auch einfach als Rauminhalt bezeichnet. Das Formelzeichen ist das V. 
Die SI-Einheit ist m³ (Kubikmeter). Man kann aber natürlich beispielsweise auch in Kubik-Zentimetern (cm³) rechnen. 

Es gibt für viele geometrischen Körper eine eigene Formel für das Volumen. Für die wichtigsten kannst du diese Formel in einer Formelsammlung deiner Wahl (am besten die Miranda-Formelsammlung in unserer Miranda App) nachschlagen. 

Wenn es keine Formel gibt, kann man das Volumen oft auch mithilfe des Integrals berechnen, z.B: das Rotationsvolumen bei Rotationskörpern.

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        <![CDATA[Oberfläche]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video den Begriff Oberfläche. 

Die Oberfläche berechnet man bei 3-dimensionalen geometrischen Körpern (Kugel, Kegel, Prisma, Pyramide,...). Sie ist die "Begrenzungsfläche" dieser Körper, also die Fläche "außen herum". Das Formelzeichen ist das O und die SI-Einheit ist m² (Quadratmeter). Man kann dann natürlich in Quadrat-Zentimeter usw. umrechnen.

Es gibt für viele geometrische Körper eine eigene Formel für die Oberfläche. Für die wichtigsten kannst du diese Formel in einer Formelsammlung deiner Wahl (am besten die Miranda-Formelsammlung in unserer Miranda App) nachschlagen. 

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        <![CDATA[Das Prisma]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video den geometrischen Körper eines Prismas. Bei einem Prisma sind die Gundfläche und die Deckfläche parallel und deckungsgleich, also gleich groß. Die Seitenflächen eines Prismas nennt man Mantelfläche bzw. Mantel. Es ist wichtig, dass du ein Prisma erkennen kannst. Wenn es also 2 Flächen gibt, die parallel und gleich groß sind, und durch eine Höhe verbunden sind, dann ist es ein Prisma. 

Die Formeln für die Mantelfläche, Oberfläche und das Volumen sind allgemein relativ easy, hängen aber von der Grundfläche ab. 
Für alle anderen: Einfach in der Formelsammlung deiner Wahl (am besten in der Miranda Formelsammlung) die Formel nachschlagen :)

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Quader und Würfel]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video die geometrischen Körper Quader und Würfel. 
Einen Würfel kennt wahrscheinlich jeder von euch. Alle Seiten sind gleich lang, die Flächen sind alle gleich groß und sind alle rechtwinkelig aufeinander und kongruent (deckungsgleich). 

Ein Quader sieht wie ein Würfel aus, nur, dass die Seiten nicht gleich lang, sondern verschieden lang sind. Die jeweils gegenüber liegenden Flächen sind also gleich groß und kongruent (deckungsgleich).  

Ein Würfel ist ein spezieller Quader, und beide, Würfel und Quader, sind spezielle Prismen.

Die Formeln für die Mantelfläche, Oberfläche und das Volumen sind allgemein relativ easy und leicht zu merken. Also am besten auswendig lernen :)
Für alle anderen: Einfach in der Formelsammlung deiner Wahl (am besten in der Miranda Formelsammlung) die Formel nachschlagen :)

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Der Zylinder (Drehzylinder)]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video den geometrischen Körper des Zylinders (oder auch Drehzylinder genannt). 

Der Zylinder ist ein spezielles Prisma. Die Grundfläche ist ein Kreis, die Deckfläche dann natürlich auch :) Grund- und Deckfläche sind gleich groß und kongruent (deckungsgleich), der Abstand zwischen Grund- und Deckfläche ist die Höhe. 

Die Formeln für die Mantelfläche, Oberfläche und das Volumen sind allgemein relativ easy und leicht zu merken. Also am besten auswendig lernen :)
Für alle anderen: Einfach in der Formelsammlung deiner Wahl (am besten in der Miranda Formelsammlung) die Formel nachschlagen :)

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Die Pyramide]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video den geometrischen Körper der Pyramide. 

Eine Pyramide sieht einfach so ähnlich aus wie die berühmten Pyramiden von Gizeh :)
Mehr muss man nicht erklären, oder? :)

Also gut :) 
Bei einer Pyramide kann die Grundfläche ein Dreieck, Viereck, Fünfeck oder irgendeine andere Figur sein. Meistens ist es aber ein Quadrat oder Dreieck. Die Seitenlinien laufen in einer Spitze zusammen, die meistens genau über dem Mittelpunkt der Grundfläche ist (gerade Pyramide). Die Spitze muss aber nicht genau über dem Mittelpunkt der Grundfläche sein, dann ist es eine "schiefe Pyramide". Die Länge zwischen Mittelpunkt und Spitze (bei einer geraden Pyramide) ist die Höhe.

Die Formeln für die Mantelfläche, Oberfläche und das Volumen sind bei einer (geraden) Pyramide (mit quadratischer Grundfläche) relativ easy und leicht zu merken. Also am besten auswendig lernen :)
Für alle anderen: Einfach in der Formelsammlung deiner Wahl (am besten in der Miranda Formelsammlung) die Formel nachschlagen :)

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Der Kegel (Drehkegel)]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video den geometrischen Körper des Kegels (oder auch Drehkegel genannt). 

Der Kegel ist eine spezielle Pyramide (nämlich eine Pyramide mit Kreis als Grundfläche). Wir gehen mal von einem "geraden Kegel" aus. Bei diesem liegt die Spitze genau über dem Mittelpunkt des Kreises (der Grundfläche). Der Abstand zwischen Spitze und Mittelpunkt ist die Höhe. Bei einem schiefen Kegel liegt die Spitze nicht direkt über dem Mittelpunkt des Kreises

Die Formeln für die Mantelfläche, Oberfläche und das Volumen sind allgemein relativ easy und leicht zu merken. Also am besten auswendig lernen :)
Für alle anderen: Einfach in der Formelsammlung deiner Wahl (am besten in der Miranda Formelsammlung) die Formel nachschlagen :)

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Die Kugel]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video den geometrischen Körper einer Kugel. Eine Kugel hat sicher jeder von euch schon mal gesehen :D

Bei einer Kugel ist jeder Punkt der Kugeloberfläche gleich weit vom Mittelpunkt entfernt. Der Abstand zwischen Kugeloberfläche und Mittelpunkt ist der Radius. Der Durchmesser ist doppelt so groß wie der Radius. 

Die Formeln für die Oberfläche und das Volumen sind nicht mehr so easy wie für den Kreis. Wenn du willst, kannst du sie natürlich auswendig lernen :)
Für alle anderen: Einfach in der Formelsammlung deiner Wahl (am besten in der Miranda Formelsammlung) die Formel nachschlagen :)

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Der Funktionswert f(x)]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video, was der Funktionswert f(x) bzw. y bei Funktionen bedeutet. f(x) und y ist dasselbe. Meistens schreibt man f(x), man sagt aber oft auch der Einfachheit halber y statt f(x).

Bei einer Funktion gibt es immer Argument x und Funktionswert y bzw. f(x). (sprich: "f von x") 
Mit Argument ist immer allgemein das x gemeint (jedes x ist möglich), und mit Stelle ist ein spezielles x gemeint. Man sagt beispielsweise: Die Extremstelle der quadratischen Funktion ist an der Stelle x=3. 

Bei einer Funktion wird immer jedem Argument x genau ein bestimmter Funktionswert f(x) bzw. y zugeordnet. Wie das genau funktioniert, wird mit der Funktionsgleichung oder der Zuordnungsvorschrift beschrieben. 

Du kannst es dir wie eine Maschine vorstellen, die aus einem gewissen Input (was du rein gibst) einen gewissen Output erzeugt (was raus kommt aus der "Funktions-Maschine"):
Du hast einen bestimmten Input, das ist das Argument x, setzt dieses x in die Funktionsgleichung ein (die Maschine) und bekommst einen bestimmten Output, den Funktionswert f(x) bzw. y heraus.

Eine Funktionsgleichung sieht beispielsweise so aus:  f(x)=4x+5
Der Funktionsterm ist immer der Term (der mathematische Ausdruck), der auf der rechten Seite des "Ist-Gleich-Zeichens" steht. 

In unserem Beispiel ist 4x + 5 der Funktionsterm, und "alles zusammen", also f(x)=4x+5 ist die sogenannte Funktionsgleichung. Die Funktionsgleichung kannst du auch als sogenannte Zuordnungsvorschrift darstellen. Bei f(x)=4x + 5 wäre das dann:
x → 4x + 5  
Man spricht es so aus: "x wird abgebildet auf 4x+5" oder "x wird zugeordnet zu 4x+5". 
Den Funktionsterm bzw. die Funktionsgleichung kannst du auch graphisch durch den Funktionsgraph darstellen. 

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Der Funktionsgraph - was ist das eigentlich?]]>
      </video:title>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt dir in diesem Video, wie denn eigentlich ein Funktionsgraph aussieht bzw. was ein Funktionsgraph überhaupt ist.

Diese Frage ist nicht so leicht zu beantworten, denn es kommt darauf an, von welchem Funktionstyp die Funktion ist. Der Graph einer Lineare Funktion ist eine Gerade, der einer Quadratischen Funktion ist eine Parabel und der einer Sinus- bzw. Cosinusfunktion ist "wellenförmig" und periodisch, und so weiter.

Der Funktionsgraph einer Funktion wird in einem kartesischen Koordinatensystem mit x- und y-Achse aufgezeichnet. Der Funktionsgraph ist, anschaulich ausgedrückt, alle Wertepaare bzw. Punkte, die die jeweilige Funktionsgleichung erfüllen, "nacheinander aufgereiht". Dadurch ergibt sich eine bestimmte Kurvenform, die eben je nach Funktionstyp anders aussieht. 

Ein Funktionsgraph hat dann noch verschiedene Eigenschaften, beispielsweise:

Wenn die Funktion streng monoton steigend ist, dann ist ihre Steigung größer als null. Wenn sie "nur" monoton steigend ist, dann ist die Steigung größer oder gleich null.
Analog ist es bei "fallend":
Wenn die Funktion streng monoton fallend ist, dann ist ihre Steigung kleiner als null. Wenn sie "nur" monoton fallend ist, dann ist die Steigung kleiner oder gleich null.

Bei den Extremstellen einer Funktion ist die Steigung der Funktion genau null. Die Steigung einer Funktion kannst du dir mithilfe der 1. Ableitung der Funktion berechnen, also:
1. Ableitung einer Funktion = Steigung der Funktion

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        <![CDATA[Wertepaar bzw. Punkt auf dem Funktionsgraphen]]>
      </video:title>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt dir in diesem Video, was denn ein Wertepaar bzw. Punkt auf einem Funktionsgraphen eigentlich ist.

Der Funktionsgraph einer Funktion wird in einem kartesischen Koordinatensystem mit x- und y-Achse aufgezeichnet. Der Funktionsgraph ist, anschaulich ausgedrückt, alle Wertepaare bzw. Punkte, die die jeweilige Funktionsgleichung erfüllen, "nacheinander aufgereiht". Dadurch ergibt sich eine bestimmte Kurvenform, die eben je nach Funktionstyp anders aussieht. 

Nehmen wir an, wir haben folgende Funktionsgleichung:  f(x)= 3x+2
Dann setzt du für x verschiedene Werte ein, und erhältst die jeweiligen Funktionswerte.
Für x=1 erhältst du f(1)=5  . Also ist das Wertepaar bzw. der Punkt (1/5) auf dem Funktionsgraphen.
Für x=2 erhältst du f(2)=8  . Also ist das Wertepaar bzw. der Punkt (2/8) auch auf dem Funktionsgraphen, und so weiter. 
Alle Wertepaare bzw. Punkte, die die Funktionsgleichung so wie diese beiden Wertepaare erfüllen, liegen somit auf dem Funktionsgraphen.

Wie so ein Funktionsgraph dann aussehen kann, ist nicht so leicht zu beantworten, denn es kommt darauf an, von welchem Funktionstyp die Funktion ist. Eine Lineare Funktion ist eine Gerade, eine Quadratische Funktion ist eine Parabel, eine Sinus- und Cosinusfunktion ist "wellenförmig" und periodisch, und so weiter.

Ein Funktionsgraph hat dann noch verschiedene Eigenschaften, beispielsweise:

Wenn die Funktion streng monoton steigend ist, dann ist ihre Steigung größer als null. Wenn sie "nur" monoton steigend ist, dann ist die Steigung größer oder gleich null.
Analog ist es bei "fallend":
Wenn die Funktion streng monoton fallend ist, dann ist ihre Steigung kleiner als null. Wenn sie "nur" monoton fallend ist, dann ist die Steigung kleiner oder gleich null.

Bei den Extremstellen einer Funktion ist die Steigung der Funktion genau null. Die Steigung einer Funktion kannst du dir mithilfe der 1. Ableitung der Funktion berechnen, also:
1. Ableitung einer Funktion = Steigung der Funktion

Dies]]>
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        <![CDATA[Funktionsgleichung und Zuordnungsvorschrift]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video, was der Funktionsgleichung und die Zuordnungsvorschrift einer Funktion eigentlich ist. 

Bei einer Funktion wird immer jedem Argument x genau ein bestimmter Funktionswert f(x) bzw. y zugeordnet. Wie das genau funktioniert, wird mit der Funktionsgleichung oder der Zuordnungsvorschrift beschrieben. 

Du kannst es dir wie eine Maschine vorstellen, die aus einem gewissen Input (was du rein gibst) einen gewissen Output erzeugt (was raus kommt aus der "Funktions-Maschine"):
Du hast einen bestimmten Input, das ist das Argument x, setzt dieses x in die Funktionsgleichung ein (die Maschine) und bekommst einen bestimmten Output, den Funktionswert f(x) bzw. y heraus.

Der Funktionsterm ist immer der Term (der mathematische Ausdruck), der auf der rechten Seite des "Ist-Gleich-Zeichens" steht. Zum Beispiel:
f(x) = 4x +5
Hier ist 4x + 5 der Funktionsterm, und "alles zusammen", also f(x)=4x+5 ist die sogenannte Funktionsgleichung. Die Funktionsgleichung kannst du auch als sogenannte Zuordnungsvorschrift darstellen. Bei f(x)=4x + 5 wäre das dann:
x → 4x + 5  
Man spricht es so aus: "x wird abgebildet auf 4x+5" oder "x wird zugeordnet zu 4x+5". 
Den Funktionsterm bzw. die Funktionsgleichung kannst du auch graphisch durch den Funktionsgraph darstellen. 

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Der Funktionsterm einer Funktion]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video, was der Funktionsterm einer Funktion eigentlich ist. 

Der Funktionsterm ist immer der Term (der mathematische Ausdruck), der auf der rechten Seite des "Ist-Gleich-Zeichens" steht. Zum Beispiel:
f(x) = 4x +5
Hier ist 4x + 5 der Funktionsterm, und "alles zusammen", also f(x)=4x+5 ist die sogenannte Funktionsgleichung. Den Funktionsterm bzw. die Funktionsgleichung kannst du auch graphisch durch den Funktionsgraph darstellen. 

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Funktionen: Argument und Stelle]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video, was Argument und Stelle bei Funktionen bedeutet.

Mit Argument ist immer allgemein das x gemeint (jedes x ist möglich), und mit Stelle ist ein spezielles x gemeint. Man sagt beispielsweise: Die Extremstelle der quadratischen Funktion ist an der Stelle x=3. 

Bei einer Funktion wird immer jedem Argument x genau ein bestimmter Funktionswert f(x) bzw. y zugeordnet. Wie das genau funktioniert, wird mit der Funktionsgleichung oder der Zuordnungsvorschrift beschrieben. 

Du kannst es dir wie eine Maschine vorstellen, die aus einem gewissen Input (was du rein gibst) einen gewissen Output erzeugt (was raus kommt aus der "Funktions-Maschine"):
Du hast einen bestimmten Input, das ist das Argument x, setzt dieses x in die Funktionsgleichung ein (die Maschine) und bekommst einen bestimmten Output, den Funktionswert f(x) bzw. y heraus.

Eine Funktionsgleichung sieht beispielsweise so aus:  f(x)=4x+5
Der Funktionsterm ist immer der Term (der mathematische Ausdruck), der auf der rechten Seite des "Ist-Gleich-Zeichens" steht. 

In unserem Beispiel ist 4x + 5 der Funktionsterm, und "alles zusammen", also f(x)=4x+5 ist die sogenannte Funktionsgleichung. Die Funktionsgleichung kannst du auch als sogenannte Zuordnungsvorschrift darstellen. Bei f(x)=4x + 5 wäre das dann:
x → 4x + 5  
Man spricht es so aus: "x wird abgebildet auf 4x+5" oder "x wird zugeordnet zu 4x+5". 
Den Funktionsterm bzw. die Funktionsgleichung kannst du auch graphisch durch den Funktionsgraph darstellen. 

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Funktionen: Die Unabhängige und Abhängige Variable]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus die Unabhängige und die Abhängige Variable, die vor allem bei Funktionen vorkommen.

Bei einer Funktionsgleichung gibt es ja immer das Argument x (kann natürlich auch ein anderer Buchstabe sein) und den Funktionswert f(x)  (kann natürlich auch ein anderer Buchstabe sein). Der Funktionswert f(x) wird oft auch als y bezeichnet. 

Die Variable, die auf der x-Achse aufgetragen ist (also meistens x oder die Zeit t) wird auch als Unabhängige Variable bezeichnet. Das Argument wird also oft auch als Unabhängige Variable bezeichnet, denn normalerweise sucht man sich ein bestimmtes x aus, setzt es in die Funktionsgleichung ein und berechnet sich den Funktionswert f(x) bzw. y. Daher wird y bzw. der Funktionswert oft auch als Abhängige Variable bezeichnet, denn sie hängt davon ab, was man als Unabhängige Variable gewählt hat. 

Die Variable, bei der man selbst den Wert "auswählt", ist also die unabhängige Variable. Und die Variable, die man mit dieser Unabhängigen Variable berechnet, ist die Abhängige Variable.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Die Definitionsmenge (Definitionsbereich) einer Funktion]]>
      </video:title>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video den Begriff Definitionsmenge bzw. Definitionsbereich einer Funktion.

Die Definitionsmenge legt fest, welche Argumente x (also welche x-Werte) du für die Funktion verwenden darfst bzw. für welche Werte von x die Funktion definiert ist. Meistens ist die Definitionsmenge die Zahlenmenge R, also alle reellen Zahlen. 

Wenn jedoch Brüche (mit der Variable x im Nenner), Wurzeln oder Logarithmen mit x vorkommen, dann muss man einige (oder auch sehr viele) Werte von x aus der Definitionsmenge für die Funktion ausschließen. Wie das genau geht, wird im Video erklärt :)

Im Gegensatz dazu ist die Wertemenge (wird auch Wertebereich genannt) der Bereich an Zahlen, den der Funktionswert einer Funktion bzw. die y-Koordinate der Wertepaare (Punkte) des Funktionsgraphen annehmen kann. Meistens sind es die reellen Zahlen, es könnte aber in der Angabe auch festgelegt sein, dass es nur die positiven reellen Zahlen oder auch nur die natürlichen Zahlen sind.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Wertemenge bzw. Wertebereich einer Funktion]]>
      </video:title>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video den Begriff Wertemenge bzw. Wertebereich einer Funktion.

Die Wertemenge (wird auch Wertebereich genannt) ist der Bereich an Zahlen, den der Funktionswert einer Funktion bzw. die y-Koordinate der Wertepaare (Punkte) des Funktionsgraphen annehmen kann. Meistens sind es die reellen Zahlen, es könnte aber in der Angabe auch festgelegt sein, dass es nur die positiven reellen Zahlen oder auch nur die natürlichen Zahlen sind.

Im Gegensatz dazu gibt es auch die Definitionsmenge, die festlegt, welche Argumente x (also welche x-Werte) du für die Funktion verwenden darfst.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Die Wertetabelle einer Funktion]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video den Begriff Wertetabelle (einer Funktion). 

Um den Funktionsgraph einer Funktion selbst (also ohne Taschenrechner) zeichnen zu können, benötigst du eine sogenannte Wertetabelle. Bei einer Wertetabelle schreibst du die Argumente x (die Stellen) auf die linke Seite der Tabelle und die dazugehörigen Funktionswerte (y-Werte) auf die rechte Seite der Tabelle. Dann kannst du die Wertepaare (Punkte) im Koordinatensystem auftragen, die Punkte "verbinden" und so den Graphen der Funktion zeichnen. 

Die Wertetabelle enthält also verschiedene Argumente x und die jeweils zugehörigen Funktionswerte f(x) der Funktion in Tabellenform.

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        <![CDATA[Grenzwert (Limes) einer Funktion]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus den sogenannten Grenzwert bzw. Limes einer Funktion. Einen Grenzwert gibt es beispielsweise auch bei Folgen, hier geht's aber eben um den Grenzwert von Funktionen :)

Der Grenzwert einer Funktion an einer bestimmten Stelle ist derjenige Wert, an den sich die Funktion in der Umgebung der jeweiligen Stelle annähert. Meistens will man den Grenzwert im Unendlichen, also bei plus oder minus unendlich bestimmen. Also welchem Wert sich die Funktion im Unendlichen annähert. 

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        <![CDATA[Asymptote und Asymptotisches Verhalten]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video die sogenannte Asymptote bzw. das Asymptotische Verhalten einer Funktion. 

Die Asymptote ist diejenige Gerade, der sich eine Funktion im Unendlichen annähert. Dabei kann sowohl x (wenn also x "gegen unendlich geht", als auch y (wenn also y "gegen unendlich geht") gemeint sein und sowohl plus unendlich als auch minus unendlich. Das Asymptotische Verhalten ist einfach das Verhalten der Funktion im Unendlichen. 

Eine fallende Exponentialfunktion nähert sich im Unendlichen der x-Achse an, die Asymptote ist also f(x)=0
Eine steigende Exponentialfunktion nähert sich im minus Unendlichen der x-Achse an, die Asymptote ist also auch f(x)=0

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        <![CDATA[Quadratische Funktion und Parabel]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus die Begriffe Quadratische Funktion und Parabel. 

Eine quadratische Funktion kann auch als Polynomfunktion zweiten Grades angesehen werden, da die höchste Potenz, in der x vorkommt, 2 ist. Eine quadratische Funktion hat also diese allgemeine Funktionsgleichung:
f(x)=a*x² + b*x + c

Eine quadratische Funktion ist immer parabelförmig, der Funktionsgraph hat also die Form einer bestimmten Kurve, einer sogenannten Parabel. So eine Parabel hat immer einen Scheitelpunkt. Dieser ist entweder ein Hochpunkt oder Tiefpunkt. Wenn a positiv ist, dann ist die Parabel positiv gekrümmt (nach oben offen), wenn a negativ ist, dann ist die Parabel negativ gekrümmt (nach unten offen). 

Wenn b=0 ist, dann ist die quadratische Funktion symmetrisch zur y-Achse. Dann ist sie eine gerade Funktion.

Die Parabel schneidet die y-Achse immer im Punkt (0/c).

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        <![CDATA[Der Grad einer Polynomfunktion]]>
      </video:title>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus sinniert in diesem Video über den Grad einer Polynomfunktion. Diesen kannst du ganz easy bestimmen:

Die höchste Potenz, in der die Variable vorkommt, ist der Grad der Polynomfunktion, zum Beispiel:
f(x)=4x^3+3x^2+5  ist eine Polynomfunktion dritten Grades. Meistens stehen die Potenzen von groß nach klein geordnet im Funktionsterm. Das muss aber nicht so sein, ist im Normalfall aber so (weil es einfach übersichtlicher ist).
f(x)= x^5- 2x^3 + x^2 +6  ist eine Polynomfunktion 5. Grades. 
Der Grad der Polynomfunktion ist wichtig, um das (ungefähre) Aussehen des Funktionsgraphen bestimmen zu können, und um die Anzahl der Null-, Extrem- und Wendestellen bestimmen zu können. 

Es gibt bei einer Polynomfunktion vom Grad n immer höchstens n Nullstellen, höchstens n-1 Extremstellen und höchstens n-2 Wendestellen. Diese Regel gilt bei jeder Polynomfunktion. Wie viele Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen es bei der jeweiligen Polynomfunktion genau gibt, hängt vom exakten Aussehen der Polynomfunktion ab.

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        <![CDATA[Hochpunkt, Tiefpunkt und Scheitelpunkt]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video die Begriffe Hochpunkt, Tiefpunkt und Scheitelpunkt. 

Die Begriffe Hochpunkt, Tiefpunkt und Scheitelpunkt kommen im Rahmen von Funktionen vor. Der Scheitelpunkt als Begriff kommt eigentlich nur bei quadratischen Funktionen vor und ist der Punkt, an dem sich die Steigung der Funktion (von fallend auf steigend oder umgekehrt) ändert. Der Scheitelpunkt kann also sowohl ein Hochpunkt ("Berg") oder auch ein Tiefpunkt ("Tal") sein. 

Bei einem Hochpunkt ändert sich die Steigung von positiv auf negativ (von steigend auf fallend), bei einem Tiefpunkt von negativ auf positiv (von fallend auf steigend). Von Hochpunkten und Tiefpunkten spricht man auch bei allen anderen Funktionen, nicht nur bei quadratischen Funktionen.

An Hochpunkt und Tiefpunkt ist die 1. Ableitung einer Funktion (also die Steigung der Funktion) IMMER gleich null. Die x-Koordinaten von Hoch- bzw. Tiefpunkt sind also auch immer Extremstellen. 

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        <![CDATA[Sattelstelle & Sattelpunkt (Terrassenstelle & Terrassenpunkt)]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video, was eine Sattelstelle (eine Terrassenstelle) bzw. ein Sattelpunkt (ein Terrassenpunkt) überhaupt ist. 

Ein Punkt hat immer eine x- und eine y-Koordinate. Mit einer Stelle ist immer nur eine bestimmte x-Koordinate gemeint. Die x-Koordinate eines Sattelpunkt bzw. Terrassenpunkts ist also gleichzeitig die  Sattelstelle bzw. Terrassenstelle. 

Bei einer Sattelstelle ist die 1. Ableitung und die 2. Ableitung einer Funktion (also die Steigung und Krümmung der Funktion) gleich null. Sie heißt so, weil sie so ähnlich wie ein Sattel bzw. eine Terrasse aussieht. Eine Sattelstelle ist eine spezielle Wendestelle (bei der eben nicht nur die Krümmung, sondern auch die Steigung gleich null ist). Eine Sattelstelle ist aber KEINE Extremstelle (weil die 2. Ableitung bei einer Extremstelle größer oder kleiner als 0 sein muss).

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        <![CDATA[Was ist denn eigentlich eine Wendetangente?]]>
      </video:title>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video, was denn eigentlich eine Wendetangente ist. 

Eine Tangente ist ja eine Gerade, und zwar so eine, die eine Funktion (kann auch etwas anderes wie beispielsweise ein Kreis) nur genau in 1 Punkt berührt. In diesem Berührpunkt ist die Steigung der Funktion genauso groß wie die Steigung der Tangente. 

Die Steigung der Tangente an den Funktionsgraphen (an einer bestimmten Stelle bzw. einem bestimmten Punkt) kannst du mit der 1. Ableitung der Funktion an ebendieser Stelle berechnen. Der Differenzialquotient ist an dieser Stelle ist auch dasselbe wie die Steigung der Tangente.

Eine Wendetangente ist dann einfach eine Tangente, die die Funktion genau im Wendepunkt berührt, die also durch den Wendepunkt der Funktion verläuft. Sie gehört zur Kurvendiskussion dazu, bei manchen Aufgaben musst du dir die Wendetangente einer bestimmten Funktion berechnen.

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        <![CDATA[Potenzfunktion und Wurzelfunktion]]>
      </video:title>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus die Begriffe Potenzfunktion und Wurzelfunktion. 

Eine Potenzfunktion ist eine Funktion mit dieser Funktionsgleichung:
f(x)= a * x^z +b
wobei z eine ganze Zahl ist. Bei manchen Definitionen muss das b null sein, damit es eine Potenzfunktion ist (bei b=0 ist die Funktion nicht nach oben bzw, unten "verschoben", der Graph geht durch den Ursprung). 

Bei der (klassischen) Wurzelfunktion ist die Hochzahl z die Bruchzahl 1/2. Es kann aber auch eine andere Bruchzahl sein. Jede Wurzelfunktion sieht dann "so ähnlich aus" wie die klassische Wurzelfunktion  f(x)= a * "Wurzel aus x"

Eine Potenzfunktion kann ganz unterschiedliche Funktionsgraphen haben, je nachdem, welche Hochzahl die Potenz hat. Allerdings sind die markanten Stellen (Extremstellen, Wendestellen, Polstellen) immer auf der y-Achse, da die Potenzfunktion im Normalfall nicht nach links oder rechts "verschoben" wird.

Eine Potenzfunktion mit gerader Hochzahl (egal ob positiv oder negativ) ist außerdem immer eine gerade Funktion, d.h. sie ist symmetrisch zur y-Achse. 

Eine Potenzfunktion mit der Hochzahl 2 ist eine quadratische Funktion und parabelförmig.

Eine Potenzfunktion mit ungerader Hochzahl ist eine ungerade Funktion, d.h. symmetrisch zum Ursprung, wenn sie nicht nach oben bzw. unten verschoben wurde (wenn sie durch den Ursprung verläuft).

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        <![CDATA[Was ist eigentlich eine Ungerade Funktion?]]>
      </video:title>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video, was eine "ungerade Funktion" eigentlich ist. 

Eine ungerade Funktion ist einfach eine Funktion, die symmetrisch zum Ursprung bzw. Koordinatenursprung ist. Eine "rein kubische Funktion" und die Sinusfunktion sind beispielsweise ungerade Funktionen. 

Alle Polynomfunktionen, die NUR  ungerade Hochzahlen (bei der Variable x) und keinen konstanten Term haben, sind immer ungerade, zum Beispiel:
f(x)= 3x^3 + 2x

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        <![CDATA[Was ist eigentlich eine Gerade Funktion?]]>
      </video:title>
      <video:description>
        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video, was eine "gerade Funktion" eigentlich ist. 

Eine gerade Funktion ist einfach eine Funktion, die symmetrisch zur y-Achse ist. Eine "rein quadratische Funktion" und die Cosinusfunktion sind beispielsweise gerade Funktionen. 

Alle Polynomfunktionen, die NUR  gerade Hochzahlen (bei der Variable x) haben, sind immer gerade, zum Beispiel:
f(x)= 3x^4 + 2x^2 - 5

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        <![CDATA[Die Konstante Funktion]]>
      </video:title>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video die Konstante Funktion. 

Die Funktionsgleichung einer konstanten Funktion ist f(x)=c, wobei c jede beliebige reelle Zahl sein kann. Der Funktionsgraph einer konstanten Funktion ist eine waagrechte Gerade (eine Gerade parallel zur x-Achse). Eine konstante Funktion ist ein Spezialfall der Linearen Funktion, bei der die Steigung k gleich null ist. 

Die konstante Funktion schneidet die y-Achse im Punkt (0/c). Die konstante Funktion f(x)=3 beispielsweise schneidet die y-Achse beispielsweise im Punkt (0/3), und verläuft eben parallel zur x-Achse.

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        <![CDATA[Was ist denn eigentlich eine Stetige Funktion?]]>
      </video:title>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video, was eine Stetige Funktion ist. 

Anschaulich gesprochen ist eine stetige Funktion eine Funktion, deren Graph keine Sprünge macht und man ihn ohne Absetzen des Stiftes zeichnen kann. Wenn du beim Zeichnen des Funktionsgraphen absetzen musst, dann ist die Funktion nicht stetig. Im Schul-Stoff kommen fast nur stetige Funktionen vor. Wenn es sich um eine differenzierbare Funktion handelt, ist sie automatisch auch stetig.

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        <![CDATA[Lineare Funktion - Das Steigungsdreieck]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video den Begriff Steigungsdreieck, der bei Geraden bzw. bei der Linearen Funktion vorkommt.

Um die Steigung einer Gerade bzw. einer Linearen Funktion graphisch ermitteln und berechnen zu können, muss man ein sogenanntes Steigungsdreieck einzeichnen. Das bedeutet, du suchst dir 2 Punkte, die auf der Geraden liegen, und von denen du die Koordinaten genau ablesen kannst. Dann bildest du ein rechtwinkeliges Dreieck und liest den horizontalen Abstand und den vertikalen Abstand vom einen zum anderen Punkt ab. 

Die Formel für die Steigung k lautet:
k= "delta y" / "delta x"  oder  k= (y2-y1) / (x2-x1)  oder  k= vertikaler Abstand / horizontaler Abstand

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        <![CDATA[Steigung und Steigungswinkel einer Funktion]]>
      </video:title>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video, was denn eigentlich die Steigung und der Steigungswinkel einer Funktion ist. 

Die Steigung einer Funktion ist ja in verschiedenen Punkten bzw. an verschiedenen Stellen verschieden groß. Man kann also immer nur die Steigung an einer bestimmten Stelle bzw. in einem bestimmten Punkt angeben. Die Steigung der Funktion in einem Punkt ist genauso groß wie die Steigung der Tangente, die durch diesen Punkt verläuft.

Um die Steigung zu ermitteln, musst du die 1. Ableitung der Funktion bestimmen, also f'(x). Die Werte dieser Ableitungsfunktion sind immer genau die Steigung der Funktion. Also: Die 1. Ableitung ist immer auch die Steigung der Funktion (an der Stelle x).  

Die Steigung der Tangente an den Funktionsgraphen (an einer bestimmten Stelle bzw. einem bestimmten Punkt) kannst du mit der 1. Ableitung der Funktion an ebendieser Stelle berechnen. Der Differenzialquotient ist an dieser Stelle ist auch dasselbe wie die Steigung der Tangente.

Den Steigungswinkel (an der gewissen Stelle) bekommst du mit dieser Formel:
tan( Steigungswinkel) = Steigung an dieser Stelle
tan(alpha) = f'(x)
Der Tangens vom Steigungswinkel ist gleich groß wie die Steigung der Funktion an dieser bestimmten Stelle.

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        <![CDATA[Sinusfunktion: Die Amplitude]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video den Begriff Amplitude, der vor allem bei der Sinus- bzw. Cosinusfunktion vorkommt. Natürlich auch in der Physik, aber das ist uns in diesem Video egal 😂

Die Amplitude ist die höchste Auslenkung des Funktionsgraphen, also der größte (senkrechte) Abstand des Funktionsgraphen von der "Null-Linie" (meistens die x-Achse). 
Bei der Funktionsgleichung der allgemeinen Sinus-Funktion  f(x)= a* sin(b*x) ist das a die Amplitude. 
Du kannst sie meistens relativ einfach direkt vom Funktionsgraphen ablesen oder auch berechnen:  
a = (Maximum minus Minimum) / 2

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        <![CDATA[Sinusfunktion: Frequenz und Kreisfrequenz]]>
      </video:title>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video die Begriffe Frequenz und Kreisfrequenz, die vor allem bei der Sinus- bzw. Cosinusfunktion vorkommen. Natürlich auch in der Physik, aber das ist uns in diesem Video egal 😂

Die Frequenz einer Sinus- bzw. Cosinusfunktion ist die Anzahl der Schwingungen innerhalb einer Sekunde, also die Anzahl der ganzen Schwingungen zwischen 0 und 1. 

Die Kreisfrequenz einer Sinus- bzw. Cosinusfunktion ist die Anzahl der Schwingungen innerhalb von 2 pi Sekunden (2π Sekunden), also die Anzahl der ganzen Schwingungen zwischen 0 und 2π. Diese Kreisfrequenz ist das b in der Funktionsgleichung der allgemeinen Sinusfunktion  f(x) = a * sin(b*x)

Du kannst sie entweder direkt aus dem Funktionsgraphen ablesen (wieviele Schwingungen gibt es zwischen 0 und 2π), oder mit der Formel für die Schwingungsdauer T berechnen. 
T= 2π / b
Wenn du die Anzahl der Schwingungen nicht genau ablesen kannst, dann kannst du auf jeden Fall die Schwingungsdauer T (wie lange dauert eine ganze Schwingung) ablesen.

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        <![CDATA[(Kleinste) Periode, Schwingungsdauer und Periodenlänge einer Sinusfunktion]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video die Begriffe (kleinste) Periode, Schwingungsdauer und Periodenlänge, die vor allem bei der Sinus- bzw. Cosinusfunktion vorkommen. Natürlich auch in der Physik, aber das ist uns in diesem Video egal 😂

Die kleinste Periode, die Schwingungsdauer und die Periodenlänge sind 3 verschiedene Bezeichnungen für ein und dasselbe, nämlich "wie lange dauert eine ganze Schwingung", bzw. "von welcher Stelle zu welcher Stelle ist eine ganze Schwingung". 

Du kannst sie oft direkt aus dem Funktionsgraphen ablesen (wie  lange dauert eine ganze Schwingung bzw. wie groß ist der waagrechte Abstand von Minimum bis zum nächsten Minimum oder wie groß ist der waagrechte Abstand von Maximum bis zum nächsten Maximum. 
Mit der Formel für die Schwingungsdauer T kannst du dir dann die Kreisfrequenz b der Sinusfunktion f(x)=a*sin(b*x) berechnen. 
T= 2π / b

Jedes ganzzahlige Vielfache der kleinsten Periode ist ebenfalls eine Periode der Sinus- bzw. Cosinusfunktion. 

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        <![CDATA[Exponentialfunktion - Wachstumsfaktor und Abnahmefaktor]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video den Wachstumsfaktor bzw. Abnahmefaktor bei einer Exponentialfunktion. 

Bei einer Exponentialfunktion nimmt eine bestimmte Größe - z.B: die Bevölkerungszahl oder eine Bakterienanzahl - in einem bestimmten Zeitraum um einen gewissen Prozentsatz des aktuellen Wertes zu oder ab. Im Gegensatz dazu ist bei einer Linearen Funktion die Änderung konstant und unabhängig vom aktuellen Wert.

Wenn eine Exponentialfunktion in der Form  f(x)= a*b^x  dargestellt wird, dann ist das b der sogenannte Wachstums- bzw. Abnahmefaktor. Wachstumsfaktor bei einer steigenden Exponentialfunktion, Abnahmefaktor bei einer fallenden Exponentialfunktion. 

Mit dem Prozentsatz, um den die jeweilige Größe (in einem bestimmten Intervall) zu- oder abnimmt, kann man den Wachstumsfaktor bestimmen. Nimmt die Größe um 25% pro Tag zu, so ist der Wachstumsfaktor 1,25. Nimmt sie um 25% ab, so ist der Abnahmefaktor 0,75.

Man kann die Exponentialfunktion mit der Eulerschen Zahl e darzustellen, also f(x)=a*e^(k*x). Das k (oft auch mit lambda bezeichnet) ist dabei die sogenannte Wachstums- bzw. Zerfallskonstante.

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        <![CDATA[Exponentialfunktion - Wachstumskonstante und Zerfallskonstante]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video die Wachstumskonstante bzw. Zerfallskonstante bei einer Exponentialfunktion. 

Bei einer Exponentialfunktion nimmt eine bestimmte Größe - z.B: die Bevölkerungszahl oder eine Bakterienanzahl - in einem bestimmten Zeitraum um einen gewissen Prozentsatz des aktuellen Wertes zu oder ab. Im Gegensatz dazu ist bei einer Linearen Funktion die Änderung konstant und unabhängig vom aktuellen Wert.

Wenn eine Exponentialfunktion mit der Eulerschen Zahl e in der Form  f(x)= a* e^(k*x)  dargestellt wird, dann ist das k die sogenannte Wachstums- bzw. Zerfallskonstante. Wachstumskonstante bei einer steigenden Exponentialfunktion, Zerfallskonstante bei einer fallenden Exponentialfunktion. Bei Wachstum ist das k positiv, bei Abnahme (Zerfall) ist das k negativ. Das k wird oft auch mit dem griechischen Buchstaben lambda bezeichnet.

Wenn eine Exponentialfunktion in der Form  f(x)= a*b^x  dargestellt wird, dann ist das b der sogenannte Wachstums- bzw. Abnahmefaktor. Wachstumsfaktor bei einer steigenden Exponentialfunktion, Abnahmefaktor bei einer fallenden Exponentialfunktion. 

Mit dem Prozentsatz, um den die jeweilige Größe (in einem bestimmten Intervall) zu- oder abnimmt, kann man den Wachstumsfaktor bestimmen. Nimmt die Größe um 25% pro Tag zu, so ist der Wachstumsfaktor 1,25. Nimmt sie um 25% ab, so ist der Abnahmefaktor 0,75.

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        <![CDATA[Das kartesische Koordinatensystem]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video das kartesische Koordinatensystem. 

Das kartesische Koordinatensystem ist das Koordinatensystem, mit dem du in der Schule immer arbeitest. Es gibt auch andere Koordinatensysteme, aber normalerweise meint man mit "Koordinatensystem" das "Kartesische Koordinatensystem". 

Und dieses Kartesische Koordinatensystem kommt nicht etwa von "Karte" oder so, sondern vom Philosophen und Mathematiker Rene Descartes, der das Kartesische Koordinatensystem begründet bzw. "erfunden" hat.

Meistens ist es 2-dimensional, man hat also eine waagrechte Achse (x-Achse) und eine senkrechte Achse (y-Achse). Im 3-Dimensionalen kommt noch die z-Achse dazu.

Der Ursprung des kartesischen Koordinatensystems ist einfach der Punkt (0/0) im R² (in der Ebene) und der Punkt (0/0/0) im R³ (im Raum). Dort "entspringt" sozusagen das Koordinatensystem.

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        <![CDATA[Was ist eigentlich der Ursprung bzw. Koordinatenursprung?]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video, was der Koordinatenursprung bzw. Ursprung eigentlich ist. 

Der Ursprung des kartesischen Koordinatensystems ist einfach der Punkt (0/0) im R² (in der Ebene) und der Punkt (0/0/0) im R³ (im Raum). Dort "entspringt" sozusagen das Koordinatensystem.

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        <![CDATA[Was sind denn eigentlich Quadranten?]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus den Begriff Quadrant, der in Zusammenhang mit dem Koordinatensystem im R² vorkommt. 

Es gibt 4 Quadranten. Es sind die 4 "Bereiche" im Koordinatensystem rechts und links von der y-Achse bzw. oberhalb und unterhalb der x-Achse. 

Der 1. Quadrant ist der Bereich oberhalb der x-Achse und rechts von der y-Achse. In diesem Quadranten sind sowohl die x-Werte, als auch die y-Werte positiv. Die Nummerierung der Quadranten erfolgt, ausgehend vom 1. Quadranten, gegen den Uhrzeigersinn. Im Video wird alles genau erklärt :)

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        <![CDATA[Die verschiedenen Änderungsmaße]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus gibt in diesem Video einen Überblick über die verschiedenen mathematischen Änderungsmaße.

Es gibt die Absolute Änderung, die Relative (Prozentuelle) Änderung, die Mittlere Änderungsrate und die Momentane Änderungsrate. 

Zu jedem dieser Begriffe gibt es natürlich ein ausführliches Video.

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        <![CDATA[Differenzialrechnung - was bedeutet das eigentlich?]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video den Begriff Differenzialrechnung. 

Differenzialrechnung bedeutet, dass du beim jeweiligen Rechenweg, der für die Aufgabe nötig ist, ableitest bzw. differenzierst. Du musst also bei der Differenzialrechnung die 1. Ableitung und/oder die 2. Ableitung der Funktion berechnen (und damit dann weiterrechnen). Das heißt, du musst mindestens 1 mal ableiten bzw. differenzieren, um die Aufgabe lösen zu können.

Neben der Differenzialrechnung gibt es auch die Integralrechnung. Dabei musst du dann eben integrieren, um die Aufgabe lösen zu können. 

Das Wort Differenzialrechnung schreibt man manchmal auch mit t statt z, also Differentialrechnung.

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        <![CDATA[Differenzieren und Integrieren]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video die Begriffe Differenzieren und Integrieren. Diese Begriffe kommen in der Analysis und immer im Zusammenhang von Funktionen vor. Man kann Funktionen Differenzieren und Integrieren.

Differenzieren ist einfach ein anderes Wort für Ableiten. Um eine Funktion ableiten zu können, musst du die Ableitungsregeln befolgen. Die 1. Ableitung einer Funktion ist immer die Steigung der Funktion, die 2. Ableitung einer Funktion ist immer die Krümmung der Funktion.

Integrieren ist die Umkehrung des Differenzierens bzw. Ableitens. Ein anderer Begriff für Integrieren ist Aufleiten, wird aber nur sehr selten verwendet. Für das Integrieren gibt es auch eigene Regeln für das Integrieren.

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        <![CDATA[Die 1. Ableitung einer Funktion]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus, was die 1. Ableitung einer Funktion ist bzw. was du damit machen kannst.

Die 1. Ableitung einer Funktion f ist immer f'(x) ("f Strich von x"). Diese 1. Ableitung ist IMMER auch die Steigung der Funktion f an dieser Stelle x. Wenn du die 1. Ableitung "gleich null setzt", also die Gleichung f'(x)=0 aufstellst und diese löst, kannst du dir die Extremstellen der Funktion berechnen. Die Lösungen der Gleichung f'(x)=0 sind die Extremstellen der Funktion f. An den Extremstellen ist nämlich eben die Steigung der Funktion gleich null.

Um die 1. Ableitung zu berechnen, musst du die verschiedenen Ableitungsregeln anwenden.

Die 1. Ableitung einer Funktion ist auch der Differenzialquotient der Funktion f.

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        <![CDATA[Die 2. Ableitung einer Funktion]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus, was die 2. Ableitung einer Funktion ist bzw. was du damit machen kannst.

Die 2. Ableitung einer Funktion f ist immer f''(x) ("f zwei Strich von x"). Diese 2. Ableitung ist IMMER auch die Krümmung der Funktion f an dieser Stelle x. Wenn du die 2. Ableitung "gleich null setzt", also die Gleichung f''(x)=0 aufstellst und diese löst, kannst du dir die Wendestellen der Funktion berechnen. Die Lösungen der Gleichung f''(x)=0 sind die Wendestellen der Funktion f. An den Wendestellen ist nämlich eben die Krümmung gleich null.

Um die 2. Ableitung zu berechnen, musst du 2 mal nacheinander ableiten. Du musst also zuerst die 1. Ableitung f'(x) berechnen und dann mit dieser die 2. Ableitung f''(x). Dabei musst du natürlich die verschiedenen Ableitungsregeln anwenden.

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        <![CDATA[Der Orientierte Flächeninhalt - was ist das denn eigentlich?]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video den Begriff "Orientierter Flächeninhalt": Dieser Begriff kommt in Zusammenhang mit der Integralrechnung vor. Bei dieser geht's ja oft um Flächeninhalte.

Wenn der Flächeninhalt zwischen Funktionsgraph und x-Achse zur Gänze OBERhalb der x-Achse liegt, dann ist der Wert des bestimmten Integrals genau so groß wie der Flächeninhalt. Wenn der Flächeninhalt zwischen Funktionsgraph und x-Achse zur Gänze UNTERhalb der x-Achse liegt, dann ist der Wert des bestimmten Integrals genau die Gegenzahl des Flächeninhalts ("genau so groß" wie der Flächeninhalt, aber mit negativem Vorzeichen). Dann spricht man auch vom sogenannten orientierten Flächeninhalt. Wenn man in diesem Fall den Betrag des bestimmten Integrals nimmt, dann erhält man wieder genau den Flächeninhalt. 

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        <![CDATA[Die Integrationskonstante]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video die Integrationskonstante. 

Beim sogenannten unbestimmten Integral (Integral ohne Grenzen) kommt immer eine Stammfunktion der Funktion heraus und du darfst nicht auf die Integrationskonstante c vergessen (am Ende der Stammfunktion "plus c" dazuschreiben). Diese Integrationskonstante wird auch als additive Konstante (weil sie ja dazu addiert wird) bezeichnet. 

Diese Integrationskonstante ist der "Startwert" oder "Anfangswert" der jeweils erhaltenen Stammfunktion. Diese musst du dir bei vielen Aufgaben mit den in der Angabe stehenden Bedingungen berechnen.

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        <![CDATA[Statistik - Nominalskala, Ordinalskala & metrische Skala]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt unser Tutor Markus 3 verschiedene Skalen, die in der Statistik vorkommen. Die Nominalskala, die Ordinalskala und die metrische Skala.

Größen, die man nicht ordnen kann (von klein nach groß oder schlecht nach gut), werden auf einer Nominalskala angegeben. So etwas ist beispielsweise die Autofarbe oder die Augenfarbe, oder der Beziehungsstatus. Bei diesen Größen kann man nur den Modus angeben. Den Median und das arithmetische Mittel kann man nicht bestimmen.

Größen, die man ordnen kann, die aber nicht als Zahlen angegeben sind, werden auf einer Ordinalskala angegeben. Das ist beispielsweise die Güteklasse bei Lebensmitteln, oder die Energieklasse bei Elektrogeräten. Bei diesen Größen kann man den Modus, und auch den Median angeben. Das arithmetische Mittel kann man nicht bestimmen. Man kann diese Größen von schlecht nach gut ordnen.

Größen, die man als Zahl angeben kann, werden auf einer metrischen Skala angegeben. Das ist beispielsweise die Körpergröße, das Gewicht, die Regenmenge in einem Monat, usw. Für solche Größen kann man sowohl Modus als auch Median und arithmetisches Mittel bestimmen.

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        <![CDATA[Statistik - Was ist eigentlich eine Urliste?]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video den Begriff der Urliste, der in der Statistik vorkommt. 

Die Urliste ist eine Datenliste, die nicht geordnet und nicht "bearbeitet" wurde. Sie ist also so, wie sie bei der Umfrage "ausgefüllt" wurde oder wie die Daten erhoben wurden. 

Um Statistische Berechnungen durchführen zu können, muss die Urliste bearbeitet und vor allem geordnet werden.

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        <![CDATA[Statistik - Geordnete und Ungeordnete Liste]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video die Geordnete und Ungeordnete Liste. 

Die Geordnete und Ungeordnete Liste kommt in der Statistik vor. Die Ungeordnete Liste ist eigentlich dasselbe wie die Urliste, also eine unbehandelte Liste. Die Daten sind noch so, wie sie erhoben wurden.

Bei der Geordneten Liste wurden die Daten dann (meistens von klein nach groß) geordnet. Um verschiedene Statistische Kennzahlen wie Minimum, Maximum, Median und die Quartile herauszufinden, musst du zuerst die Liste ordnen (eben eine Geordnete Liste erstellen). Mit dieser Geordneten Liste kannst du diese Statistischen Kennzahlen dann leicht herausfinden.

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        <![CDATA[Statistik - Minimum, Maximum und Spannweite]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video die Begriffe Minimum, Maximum und Spannweite. 

Das Minimum und Maximum sind 2 ganz bestimmte Datenpunkte einer Datenliste, nämlich der kleinste bzw. größte Wert einer Datenliste (eh klar, sagt ja schon der Name 😂 ). Bei einem Boxplot brauchst du sowohl Minimum als auch Maximum der jeweiligen Datenliste.

Die Spannweite ist einfach der Unterschied von Minimum und Maximum ("von wo bis wo gehen die Werte" der Datenliste). Die Formel lautet:
Spannweite = Maximum minus Minimum

Für diese Begriffe gibt es nicht wirklich eine offizielle Abkürzung, deswegen haben wir die Formel "ausgeschrieben".

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        <![CDATA[Boxplot - Interquartilsabstand (Quartilsabstand)]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video den Begriff Interquartilsabstand (manchmal auch nur als Quartilsabstand bezeichnet). 

"Inter" heißt "zwischen", es ist also der Abstand zwischen 1. und 3. Quartil (zwischen unterem und oberem Quartil) gemeint. Diese beiden Quartile kommen vor allem beim Boxplot vor. 
Die Formel lautet: Interquartilsabstand = Oberes Quartil minus Unteres Quartil
Für diese Begriffe gibt es nicht wirklich eine offizielle Abkürzung, deswegen haben wir die Formel "ausgeschrieben".

Das Minimum und Maximum sind 2 ganz bestimmte Datenpunkte einer Datenliste, nämlich der kleinste bzw. größte Wert einer Datenliste (eh klar, sagt ja schon der Name 😂 ). Bei einem Boxplot brauchst du sowohl Minimum als auch Maximum der jeweiligen Datenliste.

Die Spannweite ist einfach der Unterschied von Minimum und Maximum ("von wo bis wo gehen die Werte" der Datenliste). Die Formel lautet:
Spannweite = Maximum minus Minimum

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Prozent / Promille / ppm]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus, was die Begriffe Prozent, Promille und ppm überhaupt bedeuten. 

Mit diesen 3 Verhältnisangaben lassen sich Größen besser vergleichen. 

Prozent kommt vom Lateinischen "per cento" und bedeutet "von Hundert" bzw. Hundertstel. Beispielsweise bedeutet dann "3% der Leute sind über 190cm groß", dass 3 von hundert Personen über 190cm groß sind. Mit der Prozentangabe kann man dann verschiedene Größen besser vergleichen.

Promille kommt vom Lateinischen "per mille" und bedeutet "von Tausend" bzw. Tausendstel. Beispielsweise bedeutet dann "4 Promille der Leute sind über 200cm groß", dass 4 von tausend Personen über 200cm groß sind. Mit der Promilleangabe kann man, wie mit der Prozentangabe, verschiedene Größen besser vergleichen.

ppm bedeutet "parts per million", also "Teile pro 1 Million Teile" bzw. "von 1 Million" bzw. Millionstel. Der CO2 Gehalt in der Luft in der Erdatmosphäre beträgt derzeit ca. 410 ppm. Das heißt also, dass bei 1 Million Luft-Molekülen 410 CO2- Moleküle sind. Mit ppm kann man also auch verschiedene Größen besser vergleichen.

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        <![CDATA[Statistik - Punktwolkendiagramm]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt unser Tutor Markus das sogenannte Punktwolkendiagramm.

Bei einem Punktwolkendiagramm werden einfach die einzelnen Wertepaare (beispielsweise Größe auf der x-Achse und Gewicht auf der y-Achse) im Diagramm aufgetragen. Je nachdem, wie stark die beiden Größen miteinander korrelieren, entsteht eine mehr oder weniger große "Wolke an Punkten", also eine "Punktwolke". Daher kommt der Name.

Aus so einem Diagramm kannst du dann natürlich verschiedenes ablesen, wie aus allen anderen statistischen Diagrammen auch.

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        <![CDATA[Statistik - Liniendiagramm]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video das Liniendiagramm. 

Das Liniendiagramm wird in der Statistik verwendet. Vor allem dann, wenn man sehr viele Datenpunkte hat und ein Säulen- oder Balkendiagramm zu unübersichtlich wird, beispielsweise die Entwicklung der Einwohnerzahl einer Stadt über die letzten 100 (oder mehr) Jahre. Die einzelnen Datenpunkte werden beim Liniendiagramm mit einer Linie verbunden. Die einzelnen Wertepaare kann man dann ganz easy vom Liniendiagramm ablesen.

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        <![CDATA[Statistik - Das Piktogramm]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt unser Tutor Markus das sogenannte Piktogramm.

Ein Piktogramm ist eine bestimmte statistische Darstellungsform, bei der die Größe eines bestimmten "Bildes" (beispielsweise Strichmännchen bei der Bevölkerungszahl) die Zahl der jeweiligen Größe angibt. Je größer das Männchen, desto größer die Einwohnerzahl. Es kann aber auch so dargestellt sein, dass beispielsweise 1 Männchen 1000 Einwohner darstellt.

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        <![CDATA[Wahrscheinlichkeit - Zufallsversuch  (Zufallsexperiment)]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video den Begriff Zufallsversuch bzw. Zufallsexperiment. Was ist denn ein Zufallsversuch überhaupt?

Ein Zufallsversuch ist ein Versuch (bzw. irgendetwas, das man macht), bei dem es auf den Zufall ankommt, was als "Ergebnis" rauskommt, beispielsweise eine Münze werfen oder mit einem Würfel würfeln. Es klingt ein bisschen komisch, würfeln oder Münze werfen als Versuch oder Experiment zu bezeichnen, aber das ist der mathematische Begriff dafür. 

Es hängt vom Zufall ab, was du würfelst bzw. ob Kopf oder Zahl kommt. Es ist NICHT möglich, dass du schon vorher weißt, was du würfelst (Augenzahl 1 bis 6 ist möglich) bzw. welche Seite der Münze kommt.

Jeder mögliche Ausgang (jedes Ergebnis) hat eine bestimmte Wahrscheinlichkeit. Diese wird mit p bezeichnet.

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        <![CDATA[Wahrscheinlichkeit - Ereignis und Gegenereignis]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video die Begriffe Ereignis und Gegenereignis. Was ist denn so ein Ereignis bzw. Gegenereignis überhaupt?

Bei einem bestimmten Zufallsversuch gibt es viele verschiedene, mögliche Ereignisse. Es kommt ganz drauf an, was du berechnen möchtest oder was in der Aufgabe gefragt ist.

Beim Würfeln würde es zum Beispiel diese Ereignisse geben (aber auch noch viele andere):
Einen 6er würfeln
Eine gerade Zahl würfeln
Eine Primzahl würfeln
Eine Zahl kleiner als 3 würfeln (also 1 oder 2 würfeln)
und so weiter

Ein Gegenereignis ist genau das Gegenteil von dem jeweiligen Ereignis. Man muss aber genau aufpassen beim Gegenereignis. Nehmen wir das Ereignis "Alle 20 Schülerinnen sind in der Klasse". Dann ist das Gegenereignis nicht "KEINE Schülerin ist in der Klasse", sondern "Nicht alle Schülerinnen sind in der Klasse". Das wäre dasselbe wie "Höchstens 19 Schülerinnen sind in der Klasse". 

Die Gegenereignisse beim Würfeln sind:
NICHT einen 6er würfeln (also 1 oder 2 oder 3 oder 4 oder 5 würfeln)
NICHT eine gerade Zahl würfeln (also 1 oder 3 oder 5 bzw. eine ungerade Zahl würfeln)
NICHT eine Primzahl würfeln (also keine Primzahl bzw. 1 oder 4 oder 6 würfeln)
NICHT eine Zahl kleiner als 3 würfeln (also eine Zahl größer ODER GLEICH 3 bzw. MINDESTENS einen 3er würfeln)
und so weiter

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        <![CDATA[Was ist eigentlich ein Bernoulli-Versuch (Bernoulli-Experiment)?]]>
      </video:title>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video den Begriff Bernoulli-Versuch bzw. Bernoulli-Experiment. Was ist denn ein Bernoulli-Versuch überhaupt?

Ein Bernoulli-Versuch ist ein Zufallsversuch, bei dem es nur 2 verschiedene, mögliche Ausgänge gibt. Ein Zufallsversuch ist irgendetwas, das man macht, und es kommt dabei auf den Zufall an, was rauskommt, beispielsweise Münze werfen oder mit einem Würfel würfeln.

Eine Münze werfen ist ein Bernoulli-Experiment, denn es kann nur die beiden Ausgänge Kopf oder Zahl geben (man kann nur Kopf oder Zahl werfen).
Auch das Würfeln kann man als Bernoulli-Versuch ansehen. Man kann zwar 6 verschiedene Zahlen würfeln, aber man kann beispielsweise "einen 6er würfeln" als Erfolg ansehen. Dann gibt es 2 Ausgänge, nämich: 
Erfolg (man würfelt einen 6er)
Misserfolg (man würfelt keinen 6er, also einen 1er, 2er, 3er, 4er oder 5er)

So gut wie alle Zufallsversuche, die im Schul-Stoff vorkommen, kann man als Bernoulli-Versuche ansehen, denn es gibt immer Erfolg und Misserfolg und daher immer nur 2 verschiedene mögliche Ausgänge. Was genau "Erfolg" bedeutet, kommt auf die Aufgabe an.

"Erfolg" hat dann immer eine gewisse Erfolgswahrscheinlichkeit p, beispielsweise 0,34 (bzw. 34 %); und "Misserfolg" hat dann die Wahrscheinlichkeit 1-p, in unserem Beispiel 0,66 (bzw. 66%).

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        <![CDATA[Was ist denn eigentlich ein Laplace-Versuch (Laplace-Experiment)?]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video den Begriff Laplace-Versuch bzw. Laplace-Experiment. Was ist denn ein Laplace-Versuch überhaupt?

Ein Laplace-Versuch ist ein Zufallsversuch, bei dem alle möglichen Ausgänge gleich wahrscheinlich sind, also dieselbe Wahrscheinlichkeit haben. Ein Zufallsversuch ist irgendetwas, das man macht, und es kommt dabei auf den Zufall an, was rauskommt, beispielsweise Münze werfen oder mit einem Würfel würfeln. Und diese beiden klassischen Zufallsversuche sind auch Laplace-Versuche, weil die Wahrscheinlichkeit für alle Ausgänge gleich ist.

Eine Münze werfen ist ein Laplace-Experiment, die beiden Ausgänge Kopf oder Zahl (man kann nur Kopf oder Zahl werfen) haben beide die Wahrscheinlichkeit p=0,5
Auch das Würfeln ist ein Laplace-Experiment. Man kann 6 verschiedene Zahlen würfeln, und jede Augenzahl (1 bis 6) hat dieselbe Wahrscheinlichkeit, nämlich 1/6.

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        <![CDATA[Schätzwert für eine Wahrscheinlichkeit]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video den Begriff "Schätzwert für eine Wahrscheinlichkeit". 

Bei vielen Zufallsversuchen kann man sich die jeweilige Wahrscheinlichkeit ganz einfach mit der Laplace-Wahrscheinlichkeit berechnen. Beispielsweise beim Würfeln oder beim Werfen einer Münze. Es ist klar, dass die Wahrscheinlichkeit für einen Sechser gleich 1/6 ist, und dass die Wahrscheinlichkeit für Kopf gleich 0,5 ist. 

Wenn es aber um die Fähigkeit eines Menschen geht, oder um etwas anderes, bei dem man die Wahrscheinlichkeit nicht "sieht", muss man die Wahrscheinlichkeit schätzen. Und das kann man nur anhand bereits vorhandener Daten machen. Wenn Markus beispielsweise die Wahrscheinlichkeit wissen will, dass er beim Darts ins Bulls-Eye trifft oder beim Fußball einen Elfmeter trifft, muss er die relative Häufigkeit berechnen. 
Also: 
Bulls-Eye Treffer = 3
Gesamte Versuche = 40
Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit für einen Bulls-Eye-Treffer = 3/40 = 0,075 oder 7,5 %

Eigentlich gar nicht so schlecht :)

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        <![CDATA[Die Wahrscheinlichkeitsfunktion - was ist das eigentlich?]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video den Begriff Wahrscheinlichkeitsfunktion. Was ist denn eine Wahrscheinlichkeitsfunktion überhaupt?

Bei Wahrscheinlichkeitsverteilungen gibt es eine Wahrscheinlichkeitsfunktion (bei stetigen Zufallsvariablen Dichtefunktion genannt) und eine Verteilungsfunktion. 

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion wird bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung verwendet, und zwar bei diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen, also beispielsweise bei der Binomialverteilung. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion kannst du sowohl graphisch (am besten als Säulendiagramm) oder auch als Tabelle darstellen.

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion gibt an, welche Werte für die Zufallsvariable möglich sind, und gibt die jeweils zugehörigen Wahrscheinlichkeiten an. Beim einmaligen Würfeln mit einem Würfel kann die Zufallsvariable X die Werte 1, 2, 3, 4, 5 und 6 annehmen (Augenzahlen 1 bis 6 sind möglich). Und die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten sind in diesem Fall alle gleich, nämlich 1/6.

Die Verteilungsfunktion kannst du auch sowohl graphisch (am besten als Säulendiagramm) oder auch als Tabelle darstellen. Die Verteilungsfunktion gibt für die möglichen Zufallsvariablen die zugehörige kumulierte Wahrscheinlichkeit an (also die Wahrscheinlichkeit, dass HÖCHSTENS dieser Wert der Zufallsvariable erreicht wird). Beim Würfel wird bei der Verteilungsfunktion für X=2 die Wahrscheinlichkeit angegeben, dass man höchstens die Augenzahl 2 würfelt. Also entweder 1 oder 2. Bei X=6 dann eben die Wahrscheinlichkeit, dass man höchstens die Augenzahl 6 würfelt, und diese Wahrscheinlichkeit ist 1. 

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        <![CDATA[Wahrscheinlichkeit - Die Verteilungsfunktion]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video den Begriff Verteilungsfunktion. Was ist denn eine Verteilungsfunktion überhaupt?

Bei Wahrscheinlichkeitsverteilungen gibt es eine Wahrscheinlichkeitsfunktion (bei stetigen Zufallsvariablen Dichtefunktion genannt) und eine Verteilungsfunktion. 

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion wird bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung verwendet, und zwar bei diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen, also beispielsweise bei der Binomialverteilung. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion kannst du sowohl graphisch (am besten als Säulendiagramm) oder auch als Tabelle darstellen.

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion gibt an, welche Werte für die Zufallsvariable möglich sind, und gibt die jeweils zugehörigen Wahrscheinlichkeiten an. Beim einmaligen Würfeln mit einem Würfel kann die Zufallsvariable X die Werte 1, 2, 3, 4, 5 und 6 annehmen (Augenzahlen 1 bis 6 sind möglich). Und die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten sind in diesem Fall alle gleich, nämlich 1/6.

Die Verteilungsfunktion kannst du auch sowohl graphisch (am besten als Säulendiagramm) oder auch als Tabelle darstellen. Die Verteilungsfunktion gibt für die möglichen Zufallsvariablen die zugehörige kumulierte Wahrscheinlichkeit an (also die Wahrscheinlichkeit, dass HÖCHSTENS dieser Wert der Zufallsvariable erreicht wird). Beim Würfel wird bei der Verteilungsfunktion für X=2 die Wahrscheinlichkeit angegeben, dass man höchstens die Augenzahl 2 würfelt. Also entweder 1 oder 2. Bei X=6 dann eben die Wahrscheinlichkeit, dass man höchstens die Augenzahl 6 würfelt, und diese Wahrscheinlichkeit ist 1. 

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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus, was die Begriffe Prozent, Promille und ppm überhaupt bedeuten. 

Mit diesen 3 Verhältnisangaben lassen sich Größen besser vergleichen. 

Prozent kommt vom Lateinischen "per cento" und bedeutet "von Hundert" bzw. Hundertstel. Beispielsweise bedeutet dann "3% der Leute sind über 190cm groß", dass 3 von hundert Personen über 190cm groß sind. Mit der Prozentangabe kann man dann verschiedene Größen besser vergleichen.

Promille kommt vom Lateinischen "per mille" und bedeutet "von Tausend" bzw. Tausendstel. Beispielsweise bedeutet dann "4 Promille der Leute sind über 200cm groß", dass 4 von tausend Personen über 200cm groß sind. Mit der Promilleangabe kann man, wie mit der Prozentangabe, verschiedene Größen besser vergleichen.

ppm bedeutet "parts per million", also "Teile pro 1 Million Teile" bzw. "von 1 Million" bzw. Millionstel. Der CO2 Gehalt in der Luft in der Erdatmosphäre beträgt derzeit ca. 410 ppm. Das heißt also, dass bei 1 Million Luft-Molekülen 410 CO2- Moleküle sind. Mit ppm kann man also auch verschiedene Größen besser vergleichen.

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        <![CDATA[Dichtefunktion und Gauß'sche Glockenkurve]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video den Begriff  Dichtefunktion bzw. Gauß'sche Glockenkurve. Diese Dichtefunktion ist die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Normalverteilung. Die Normalverteilung ist wahrscheinlich die wichtigste Wahrscheinlichkeitsverteilung überhaupt, aber sicherlich die wichtigste im Schul-Stoff. Es gibt auch Dichtefunktionen für andere Wahrscheinlichkeitsverteilungen, hier geht's aber immer um die Dichtefunktion der Normalverteilung. Andere Namen für diese Dichtefunktion sind Gauß-Funktion, Gaußsche Normalverteilung, Gaußsche Verteilungskurve, Gauß-Kurve, Gaußsche Glockenkurve, Gaußsche Glockenfunktion, Gauß-Glocke oder einfach nur Glockenkurve.

Mit dieser Dichtefunktion kannst du Wahrscheinlichkeiten berechnen. Die Fläche zwischen der Dichtefunktion und der x-Achse ist eine bestimmte Wahrscheinlichkeit. Die Dichtefunktion ist symmetrisch um den Erwartungswert. Der Erwartungswert (abgekürzt mit dem griechischen Buchstaben "mü") liegt immer an der Stelle des Hochpunkts der Dichtefunktion. Erwartungswert plus Standardabweichung (abgekürzt mit dem griechischen Buchstaben "sigma") liegt immer beim Wendepunkt der Funktion. 

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        <![CDATA[Die Standardnormalverteilung]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video den Begriff der Standardnormalverteilung. 

Die Normalverteilung ist eine bestimmte stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, wahrscheinlich die wichtigste oder zumindest die bekannteste Wahrscheinlichkeitsverteilung überhaupt. Jede normalverteilte Zufallsvariable ("jede Normalverteilung") hat einen bestimmten Erwartungswert und eine bestimmte Standardabweichung.

Die Standardnormalverteilung ist dann einfach eine standardisierte Normalverteilung. Andere Namen dafür sind "0-1-Normalverteilung" und "normierte Normalverteilung". Bei der Standardnormalverteilung ist der Erwartungswert gleich null und die Standardabweichung gleich 1. Diese beiden Kennzahlen wurden also normiert. Durch diese Normierung bzw. Standardisierung kann man in Standardnormalverteilungs-Tabellen die Fläche unterhalb des Graphen (also die Wahrscheinlichkeit) nachschlagen. Die Normalverteilung lässt sich recht einfach in die Standardnormalverteilung überführen.

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        <![CDATA[Konfidenzniveau bzw. Sicherheit eines Konfidenzintervalls]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video den Begriff Konfidenzniveau (bei einem Konfidenzintervall). Das Konfidenzniveau ist die Sicherheit des Konfidenzintervalls.

Wenn man ein Konfidenzintervall für eine bestimmte Umfrage oder einen bestimmten Datensatz berechnet, nimmt man als Konfidenzniveau üblicherweise 90%, 95% oder 99%. Am öftesten kommt das 95%-Konfidenzintervall vor, also ein Konfidenzintervall, bei dem die Sicherheit 95% beträgt. 

Wenn man die Sicherheit vergrößert, so vergrößert sich auch die Breite des Konfidenzintervalls. Wenn man die Sicherheit verkleinert, so verringert sich die Breite des Konfidenzintervalls.

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        <![CDATA[Maturavorbereitung: Mathe Matura Mai 2022 - Aufgabe 1 - Werte von Termen | Aufgabenpool]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus Aufgabe 1 der österreichischen Mathe-Zentralmatura vom Mai 2022. Die Aufgabe heißt "Werte von Termen". 

Teste dein Wissen mit der Miranda App. Dort kannst du diese Aufgabe selbst lösen, genauso wie alle bisherigen Matura-Aufgaben und alle Aufgaben des Mathe-Aufgabenpools. So bereitest du dich optimal auf deine Schularbeiten, Tests und die Matura vor.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"

Diese Aufgabe ist Teil des offiziellen AHS-Mathematik-Aufgabenpools des BMBWF auf https://prod.aufgabenpool.at/ahs/ 
Die Inhalte wurden für die Darstellung in der Miranda App angepasst. Der hier präsentierte Lösungsweg wurde vom Miranda-Team erarbeitet.]]>
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        <![CDATA[Maturavorbereitung: Mathe Matura Mai 2022 - Aufgabe 2 - Quadratische Gleichung | Aufgabenpool]]>
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      <video:description>
        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus Aufgabe 14 der österreichischen Mathe-Zentralmatura vom Mai 2022. Die Aufgabe heißt "Quadratische Gleichung". 

Teste dein Wissen mit der Miranda App. Dort kannst du diese Aufgabe selbst lösen, genauso wie alle bisherigen Matura-Aufgaben und alle Aufgaben des Mathe-Aufgabenpools. So bereitest du dich optimal auf deine Schularbeiten, Tests und die Matura vor.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"

Diese Aufgabe ist Teil des offiziellen AHS-Mathematik-Aufgabenpools des BMBWF auf https://prod.aufgabenpool.at/ahs/ 
Die Inhalte wurden für die Darstellung in der Miranda App angepasst. Der hier präsentierte Lösungsweg wurde vom Miranda-Team erarbeitet.]]>
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        <![CDATA[Maturavorbereitung: Mathe Matura Mai 2022 - Aufgabe 3 - Punkt einer Geraden | Aufgabenpool]]>
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      <video:description>
        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus Aufgabe 3 der österreichischen Mathe-Zentralmatura vom Mai 2022. Die Aufgabe heißt "Punkt einer Geraden". 

Teste dein Wissen mit der Miranda App. Dort kannst du diese Aufgabe selbst lösen, genauso wie alle bisherigen Matura-Aufgaben und alle Aufgaben des Mathe-Aufgabenpools. So bereitest du dich optimal auf deine Schularbeiten, Tests und die Matura vor.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"

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        <![CDATA[Maturavorbereitung: Mathe Matura Mai 2022 - Aufgabe 4 - Normalvektoren | Aufgabenpool]]>
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      <video:description>
        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus Aufgabe 4 der österreichischen Mathe-Zentralmatura vom Mai 2022. Die Aufgabe heißt "Normalvektoren". 

Teste dein Wissen mit der Miranda App. Dort kannst du diese Aufgabe selbst lösen, genauso wie alle bisherigen Matura-Aufgaben und alle Aufgaben des Mathe-Aufgabenpools. So bereitest du dich optimal auf deine Schularbeiten, Tests und die Matura vor.

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        <![CDATA[Maturavorbereitung: Mathe Matura Mai 2022 - Aufgabe 5 - Berechnungen am Dreieck | Aufgabenpool]]>
      </video:title>
      <video:description>
        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus Aufgabe 5 der österreichischen Mathe-Zentralmatura vom Mai 2022. Die Aufgabe heißt "Berechnungen am Dreieck". 

Teste dein Wissen mit der Miranda App. Dort kannst du diese Aufgabe selbst lösen, genauso wie alle bisherigen Matura-Aufgaben und alle Aufgaben des Mathe-Aufgabenpools. So bereitest du dich optimal auf deine Schularbeiten, Tests und die Matura vor.

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        <![CDATA[Maturavorbereitung: Mathe Matura Mai 2022 - Aufgabe 6 - Intervalle | Aufgabenpool]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus Aufgabe 6 der österreichischen Mathe-Zentralmatura vom Mai 2022. Die Aufgabe heißt "Intervalle". 

Teste dein Wissen mit der Miranda App. Dort kannst du diese Aufgabe selbst lösen, genauso wie alle bisherigen Matura-Aufgaben und alle Aufgaben des Mathe-Aufgabenpools. So bereitest du dich optimal auf deine Schularbeiten, Tests und die Matura vor.

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        <![CDATA[Mathe Matura Mai 2022 - Aufgabe 7 - Eigenschaften reeller Funktionen | Aufgabenpool]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus Aufgabe 7 der österreichischen Mathe-Zentralmatura vom Mai 2022. Die Aufgabe heißt "Eigenschaften reeller Funktionen". 

Teste dein Wissen mit der Miranda App. Dort kannst du diese Aufgabe selbst lösen, genauso wie alle bisherigen Matura-Aufgaben und alle Aufgaben des Mathe-Aufgabenpools. So bereitest du dich optimal auf deine Schularbeiten, Tests und die Matura vor.

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        <![CDATA[Maturavorbereitung: Mathe Matura Mai 2022 - Aufgabe 8 - Lineare Funktion | Aufgabenpool]]>
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      <video:description>
        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus Aufgabe 8 der österreichischen Mathe-Zentralmatura vom Mai 2022. Die Aufgabe heißt "Lineare Funktion". 

Teste dein Wissen mit der Miranda App. Dort kannst du diese Aufgabe selbst lösen, genauso wie alle bisherigen Matura-Aufgaben und alle Aufgaben des Mathe-Aufgabenpools. So bereitest du dich optimal auf deine Schularbeiten, Tests und die Matura vor.

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Diese Aufgabe ist Teil des offiziellen AHS-Mathematik-Aufgabenpools des BMBWF auf https://prod.aufgabenpool.at/ahs/ 
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        <![CDATA[Maturavorbereitung: Mathe Matura Mai 2022 - Aufgabe 9 - Indirekte Proportionalität | Aufgabenpool]]>
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      <video:description>
        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus Aufgabe 9 der österreichischen Mathe-Zentralmatura vom Mai 2022. Die Aufgabe heißt "Indirekte Proportionalität". 

Teste dein Wissen mit der Miranda App. Dort kannst du diese Aufgabe selbst lösen, genauso wie alle bisherigen Matura-Aufgaben und alle Aufgaben des Mathe-Aufgabenpools. So bereitest du dich optimal auf deine Schularbeiten, Tests und die Matura vor.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"

Diese Aufgabe ist Teil des offiziellen AHS-Mathematik-Aufgabenpools des BMBWF auf https://prod.aufgabenpool.at/ahs/ 
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        <![CDATA[Maturavorbereitung: Mathe Matura Mai 2022 - Aufgabe 10 - Ungerade Funktion | Aufgabenpool]]>
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      <video:description>
        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus Aufgabe 10 der österreichischen Mathe-Zentralmatura vom Mai 2022. Die Aufgabe heißt "Ungerade Funktion". 

Teste dein Wissen mit der Miranda App. Dort kannst du diese Aufgabe selbst lösen, genauso wie alle bisherigen Matura-Aufgaben und alle Aufgaben des Mathe-Aufgabenpools. So bereitest du dich optimal auf deine Schularbeiten, Tests und die Matura vor.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"

Diese Aufgabe ist Teil des offiziellen AHS-Mathematik-Aufgabenpools des BMBWF auf https://prod.aufgabenpool.at/ahs/ 
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        <![CDATA[Maturavorbereitung: Mathe Matura Mai 2022 - Aufgabe 11 - Halbwertszeit | Aufgabenpool]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus Aufgabe 11 der österreichischen Mathe-Zentralmatura vom Mai 2022. Die Aufgabe heißt "Halbwertszeit". 

Teste dein Wissen mit der Miranda App. Dort kannst du diese Aufgabe selbst lösen, genauso wie alle bisherigen Matura-Aufgaben und alle Aufgaben des Mathe-Aufgabenpools. So bereitest du dich optimal auf deine Schularbeiten, Tests und die Matura vor.

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        <![CDATA[Maturavorbereitung: Mathe Matura Mai 2022 - Aufgabe 12 - Töne | Aufgabenpool]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus Aufgabe 12 der österreichischen Mathe-Zentralmatura vom Mai 2022. Die Aufgabe heißt "Töne". 

Teste dein Wissen mit der Miranda App. Dort kannst du diese Aufgabe selbst lösen, genauso wie alle bisherigen Matura-Aufgaben und alle Aufgaben des Mathe-Aufgabenpools. So bereitest du dich optimal auf deine Schularbeiten, Tests und die Matura vor.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"

Diese Aufgabe ist Teil des offiziellen AHS-Mathematik-Aufgabenpools des BMBWF auf https://prod.aufgabenpool.at/ahs/ 
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        <![CDATA[Maturavorbereitung: Mathe Matura Mai 2022 - Aufgabe 13 - Körpermasse eines Babys | Aufgabenpool]]>
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      <video:description>
        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus Aufgabe 13 der österreichischen Mathe-Zentralmatura vom Mai 2022. Die Aufgabe heißt "Körpermasse eines Babys". 

Teste dein Wissen mit der Miranda App. Dort kannst du diese Aufgabe selbst lösen, genauso wie alle bisherigen Matura-Aufgaben und alle Aufgaben des Mathe-Aufgabenpools. So bereitest du dich optimal auf deine Schularbeiten, Tests und die Matura vor.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"

Diese Aufgabe ist Teil des offiziellen AHS-Mathematik-Aufgabenpools des BMBWF auf https://prod.aufgabenpool.at/ahs/ 
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        <![CDATA[Maturavorbereitung: Mathe Matura Mai 2022 - Aufgabe 14 - Mittlere Geschwindigkeit | Aufgabenpool]]>
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      <video:description>
        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus Aufgabe 14 der österreichischen Mathe-Zentralmatura vom Mai 2022. Die Aufgabe heißt "Mittlere Geschwindigkeit". 

Teste dein Wissen mit der Miranda App. Dort kannst du diese Aufgabe selbst lösen, genauso wie alle bisherigen Matura-Aufgaben und alle Aufgaben des Mathe-Aufgabenpools. So bereitest du dich optimal auf deine Schularbeiten, Tests und die Matura vor.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"

Diese Aufgabe ist Teil des offiziellen AHS-Mathematik-Aufgabenpools des BMBWF auf https://prod.aufgabenpool.at/ahs/ 
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        <![CDATA[Maturavorbereitung: Mathe Matura Mai 2022 - Aufgabe 15 - Regeln des Differenzierens | Aufgabenpool]]>
      </video:title>
      <video:description>
        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus Aufgabe 15 der österreichischen Mathe-Zentralmatura vom Mai 2022. Die Aufgabe heißt "Regeln des Differenzierens". 

Teste dein Wissen mit der Miranda App. Dort kannst du diese Aufgabe selbst lösen, genauso wie alle bisherigen Matura-Aufgaben und alle Aufgaben des Mathe-Aufgabenpools. So bereitest du dich optimal auf deine Schularbeiten, Tests und die Matura vor.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"

Diese Aufgabe ist Teil des offiziellen AHS-Mathematik-Aufgabenpools des BMBWF auf https://prod.aufgabenpool.at/ahs/ 
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        <![CDATA[Maturavorbereitung: Mathe Matura Mai 2022 - Aufgabe 16 - Stammfunktion | Aufgabenpool]]>
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      <video:description>
        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus Aufgabe 16 der österreichischen Mathe-Zentralmatura vom Mai 2022. Die Aufgabe heißt "Stammfunktion". 

Teste dein Wissen mit der Miranda App. Dort kannst du diese Aufgabe selbst lösen, genauso wie alle bisherigen Matura-Aufgaben und alle Aufgaben des Mathe-Aufgabenpools. So bereitest du dich optimal auf deine Schularbeiten, Tests und die Matura vor.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"

Diese Aufgabe ist Teil des offiziellen AHS-Mathematik-Aufgabenpools des BMBWF auf https://prod.aufgabenpool.at/ahs/ 
Die Inhalte wurden für die Darstellung in der Miranda App angepasst. Der hier präsentierte Lösungsweg wurde vom Miranda-Team erarbeitet.]]>
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        <![CDATA[Mathe Matura Mai 2022 - Aufgabe 17 - Polynomfunktion dritten Grades | Aufgabenpool]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus Aufgabe 17 der österreichischen Mathe-Zentralmatura vom Mai 2022. Die Aufgabe heißt "Polynomfunktion dritten Grades". 

Teste dein Wissen mit der Miranda App. Dort kannst du diese Aufgabe selbst lösen, genauso wie alle bisherigen Matura-Aufgaben und alle Aufgaben des Mathe-Aufgabenpools. So bereitest du dich optimal auf deine Schularbeiten, Tests und die Matura vor.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"

Diese Aufgabe ist Teil des offiziellen AHS-Mathematik-Aufgabenpools des BMBWF auf https://prod.aufgabenpool.at/ahs/ 
Die Inhalte wurden für die Darstellung in der Miranda App angepasst. Der hier präsentierte Lösungsweg wurde vom Miranda-Team erarbeitet.]]>
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        <![CDATA[Maturavorbereitung: Mathe Matura Mai 2022 - Aufgabe 18 - Gartenteich | Aufgabenpool]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus Aufgabe 18 der österreichischen Mathe-Zentralmatura vom Mai 2022. Die Aufgabe heißt "Gartenteich". 

Teste dein Wissen mit der Miranda App. Dort kannst du diese Aufgabe selbst lösen, genauso wie alle bisherigen Matura-Aufgaben und alle Aufgaben des Mathe-Aufgabenpools. So bereitest du dich optimal auf deine Schularbeiten, Tests und die Matura vor.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"

Diese Aufgabe ist Teil des offiziellen AHS-Mathematik-Aufgabenpools des BMBWF auf https://prod.aufgabenpool.at/ahs/ 
Die Inhalte wurden für die Darstellung in der Miranda App angepasst. Der hier präsentierte Lösungsweg wurde vom Miranda-Team erarbeitet.]]>
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        <![CDATA[Maturavorbereitung: Mathe Matura Mai 2022 - Aufgabe 19 - Vermögensverteilung | Aufgabenpool]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus Aufgabe 19 der österreichischen Mathe-Zentralmatura vom Mai 2022. Die Aufgabe heißt "Vermögensverteilung". 

Teste dein Wissen mit der Miranda App. Dort kannst du diese Aufgabe selbst lösen, genauso wie alle bisherigen Matura-Aufgaben und alle Aufgaben des Mathe-Aufgabenpools. So bereitest du dich optimal auf deine Schularbeiten, Tests und die Matura vor.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"

Diese Aufgabe ist Teil des offiziellen AHS-Mathematik-Aufgabenpools des BMBWF auf https://prod.aufgabenpool.at/ahs/ 
Die Inhalte wurden für die Darstellung in der Miranda App angepasst. Der hier präsentierte Lösungsweg wurde vom Miranda-Team erarbeitet.]]>
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        <![CDATA[Maturavorbereitung: Mathe Matura Mai 2022 - Aufgabe 20 - Durchschnittseinkommen | Aufgabenpool]]>
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        <![CDATA[.]]>
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        <![CDATA[Maturavorbereitung: Mathe Matura Mai 2022 - Aufgabe 21 - Neugeborene | Aufgabenpool]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus Aufgabe 21 der österreichischen Mathe-Zentralmatura vom Mai 2022. Die Aufgabe heißt "Neugeborene". 

Teste dein Wissen mit der Miranda App. Dort kannst du diese Aufgabe selbst lösen, genauso wie alle bisherigen Matura-Aufgaben und alle Aufgaben des Mathe-Aufgabenpools. So bereitest du dich optimal auf deine Schularbeiten, Tests und die Matura vor.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"

Diese Aufgabe ist Teil des offiziellen AHS-Mathematik-Aufgabenpools des BMBWF auf https://prod.aufgabenpool.at/ahs/ 
Die Inhalte wurden für die Darstellung in der Miranda App angepasst. Der hier präsentierte Lösungsweg wurde vom Miranda-Team erarbeitet.]]>
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        <![CDATA[Maturavorbereitung: Mathe Matura Mai 2022 - Aufgabe 22 - Sportwettbewerb | Aufgabenpool]]>
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      <video:description>
        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus Aufgabe 22 der österreichischen Mathe-Zentralmatura vom Mai 2022. Die Aufgabe heißt "Sportwettbewerb". 

Teste dein Wissen mit der Miranda App. Dort kannst du diese Aufgabe selbst lösen, genauso wie alle bisherigen Matura-Aufgaben und alle Aufgaben des Mathe-Aufgabenpools. So bereitest du dich optimal auf deine Schularbeiten, Tests und die Matura vor.

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        <![CDATA[Mathe Matura Mai 2022 - Aufgabe 23 - Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen]]>
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      <video:description>
        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus Aufgabe 23 der österreichischen Mathe-Zentralmatura vom Mai 2022. Die Aufgabe heißt "Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen". 

Teste dein Wissen mit der Miranda App. Dort kannst du diese Aufgabe selbst lösen, genauso wie alle bisherigen Matura-Aufgaben und alle Aufgaben des Mathe-Aufgabenpools. So bereitest du dich optimal auf deine Schularbeiten, Tests und die Matura vor.

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        <![CDATA[Mathe Matura Mai 2022 - Aufgabe 24 - Binomialverteilte Zufallsvariable | Aufgabenpool]]>
      </video:title>
      <video:description>
        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus Aufgabe 24 der österreichischen Mathe-Zentralmatura vom Mai 2022. Die Aufgabe heißt "Binomialverteilte Zufallsvariable". 

Teste dein Wissen mit der Miranda App. Dort kannst du diese Aufgabe selbst lösen, genauso wie alle bisherigen Matura-Aufgaben und alle Aufgaben des Mathe-Aufgabenpools. So bereitest du dich optimal auf deine Schularbeiten, Tests und die Matura vor.

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Diese Aufgabe ist Teil des offiziellen AHS-Mathematik-Aufgabenpools des BMBWF auf https://prod.aufgabenpool.at/ahs/ 
Die Inhalte wurden für die Darstellung in der Miranda App angepasst. Der hier präsentierte Lösungsweg wurde vom Miranda-Team erarbeitet. .]]>
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        <![CDATA[Maturavorbereitung: Mathe Matura Mai 2021 - Aufgabe 1 - Rationale Zahlen | Aufgabenpool]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus Aufgabe 1 der österreichischen Mathe-Zentralmatura vom Mai 2021. Die Aufgabe heißt "Rationale Zahlen". 

Teste dein Wissen mit der Miranda App. Dort kannst du diese Aufgabe selbst lösen, genauso wie alle bisherigen Matura-Aufgaben und alle Aufgaben des Mathe-Aufgabenpools. So bereitest du dich optimal auf deine Schularbeiten, Tests und die Matura vor.

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Die Inhalte wurden für die Darstellung in der Miranda App angepasst. Der hier präsentierte Lösungsweg wurde vom Miranda-Team erarbeitet. .]]>
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        <![CDATA[Maturavorbereitung: Mathe Matura Mai 2021 - Aufgabe 2 - Kleidungsstück | Aufgabenpool]]>
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      <video:description>
        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus Aufgabe 2 der österreichischen Mathe-Zentralmatura vom Mai 2021. Die Aufgabe heißt "Kleidungsstück". 

Teste dein Wissen mit der Miranda App. Dort kannst du diese Aufgabe selbst lösen, genauso wie alle bisherigen Matura-Aufgaben und alle Aufgaben des Mathe-Aufgabenpools. So bereitest du dich optimal auf deine Schularbeiten, Tests und die Matura vor.

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Die Inhalte wurden für die Darstellung in der Miranda App angepasst. Der hier präsentierte Lösungsweg wurde vom Miranda-Team erarbeitet. .]]>
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        <![CDATA[Maturavorbereitung: Mathe Matura Mai 2021 - Aufgabe 3 - Schulsportwoche | Aufgabenpool]]>
      </video:title>
      <video:description>
        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus Aufgabe 3 der österreichischen Mathe-Zentralmatura vom Mai 2021. Die Aufgabe heißt "Schulsportwoche". 

Teste dein Wissen mit der Miranda App. Dort kannst du diese Aufgabe selbst lösen, genauso wie alle bisherigen Matura-Aufgaben und alle Aufgaben des Mathe-Aufgabenpools. So bereitest du dich optimal auf deine Schularbeiten, Tests und die Matura vor.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"

Diese Aufgabe ist Teil des offiziellen AHS-Mathematik-Aufgabenpools des BMBWF auf https://prod.aufgabenpool.at/ahs/ 
Die Inhalte wurden für die Darstellung in der Miranda App angepasst. Der hier präsentierte Lösungsweg wurde vom Miranda-Team erarbeitet. .]]>
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        <![CDATA[Mathe Matura Mai 2021 - Aufgabe 4 - Parameterdarstellung von Geraden | Aufgabenpool]]>
      </video:title>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus Aufgabe 4 der österreichischen Mathe-Zentralmatura vom Mai 2021. Die Aufgabe heißt "Parameterdarstellung von Geraden". 

Teste dein Wissen mit der Miranda App. Dort kannst du diese Aufgabe selbst lösen, genauso wie alle bisherigen Matura-Aufgaben und alle Aufgaben des Mathe-Aufgabenpools. So bereitest du dich optimal auf deine Schularbeiten, Tests und die Matura vor.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"

Diese Aufgabe ist Teil des offiziellen AHS-Mathematik-Aufgabenpools des BMBWF auf https://prod.aufgabenpool.at/ahs/ 
Die Inhalte wurden für die Darstellung in der Miranda App angepasst. Der hier präsentierte Lösungsweg wurde vom Miranda-Team erarbeitet. .]]>
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        <![CDATA[Maturavorbereitung: Mathe Matura Mai 2021 - Aufgabe 5 - Quadrat | Aufgabenpool]]>
      </video:title>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus Aufgabe 5 der österreichischen Mathe-Zentralmatura vom Mai 2021. Die Aufgabe heißt "Quadrat". 

Teste dein Wissen mit der Miranda App. Dort kannst du diese Aufgabe selbst lösen, genauso wie alle bisherigen Matura-Aufgaben und alle Aufgaben des Mathe-Aufgabenpools. So bereitest du dich optimal auf deine Schularbeiten, Tests und die Matura vor.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"

Diese Aufgabe ist Teil des offiziellen AHS-Mathematik-Aufgabenpools des BMBWF auf https://prod.aufgabenpool.at/ahs/ 
Die Inhalte wurden für die Darstellung in der Miranda App angepasst. Der hier präsentierte Lösungsweg wurde vom Miranda-Team erarbeitet. .]]>
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        <![CDATA[Maturavorbereitung: Mathe Matura Mai 2021 - Aufgabe 6 - Rampe | Aufgabenpool]]>
      </video:title>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus Aufgabe 6 der österreichischen Mathe-Zentralmatura vom Mai 2021. Die Aufgabe heißt "Rampe". 

Teste dein Wissen mit der Miranda App. Dort kannst du diese Aufgabe selbst lösen, genauso wie alle bisherigen Matura-Aufgaben und alle Aufgaben des Mathe-Aufgabenpools. So bereitest du dich optimal auf deine Schularbeiten, Tests und die Matura vor.

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Die Inhalte wurden für die Darstellung in der Miranda App angepasst. Der hier präsentierte Lösungsweg wurde vom Miranda-Team erarbeitet. .]]>
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        <![CDATA[Maturavorbereitung: Mathe Matura Mai 2021 - Aufgabe 7 - Ideales Gas | Aufgabenpool]]>
      </video:title>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus Aufgabe 7 der österreichischen Mathe-Zentralmatura vom Mai 2021. Die Aufgabe heißt "Ideales Gas". 

Teste dein Wissen mit der Miranda App. Dort kannst du diese Aufgabe selbst lösen, genauso wie alle bisherigen Matura-Aufgaben und alle Aufgaben des Mathe-Aufgabenpools. So bereitest du dich optimal auf deine Schularbeiten, Tests und die Matura vor.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"

Diese Aufgabe ist Teil des offiziellen AHS-Mathematik-Aufgabenpools des BMBWF auf https://prod.aufgabenpool.at/ahs/ 
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        <![CDATA[Maturavorbereitung: Mathe Matura Mai 2021 - Aufgabe 8 - Funktionstypen | Aufgabenpool]]>
      </video:title>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus Aufgabe 8 der österreichischen Mathe-Zentralmatura vom Mai 2021. Die Aufgabe heißt "Funktionstypen". 

Teste dein Wissen mit der Miranda App. Dort kannst du diese Aufgabe selbst lösen, genauso wie alle bisherigen Matura-Aufgaben und alle Aufgaben des Mathe-Aufgabenpools. So bereitest du dich optimal auf deine Schularbeiten, Tests und die Matura vor.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"

Diese Aufgabe ist Teil des offiziellen AHS-Mathematik-Aufgabenpools des BMBWF auf https://prod.aufgabenpool.at/ahs/ 
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        <![CDATA[Maturavorbereitung: Mathe Matura Mai 2021 - Aufgabe 9 - Direkte Proportionalität | Aufgabenpool]]>
      </video:title>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus Aufgabe 9 der österreichischen Mathe-Zentralmatura vom Mai 2021. Die Aufgabe heißt "Direkte Proportionalität". 

Teste dein Wissen mit der Miranda App. Dort kannst du diese Aufgabe selbst lösen, genauso wie alle bisherigen Matura-Aufgaben und alle Aufgaben des Mathe-Aufgabenpools. So bereitest du dich optimal auf deine Schularbeiten, Tests und die Matura vor.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"

Diese Aufgabe ist Teil des offiziellen AHS-Mathematik-Aufgabenpools des BMBWF auf https://prod.aufgabenpool.at/ahs/ 
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        <![CDATA[Maturavorbereitung: Mathe Matura Mai 2021 - Aufgabe 10 - Quadratische Funktionen | Aufgabenpool]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus Aufgabe 10 der österreichischen Mathe-Zentralmatura vom Mai 2021. Die Aufgabe heißt "Quadratische Funktionen". 

Teste dein Wissen mit der Miranda App. Dort kannst du diese Aufgabe selbst lösen, genauso wie alle bisherigen Matura-Aufgaben und alle Aufgaben des Mathe-Aufgabenpools. So bereitest du dich optimal auf deine Schularbeiten, Tests und die Matura vor.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"

Diese Aufgabe ist Teil des offiziellen AHS-Mathematik-Aufgabenpools des BMBWF auf https://prod.aufgabenpool.at/ahs/ 
Die Inhalte wurden für die Darstellung in der Miranda App angepasst. Der hier präsentierte Lösungsweg wurde vom Miranda-Team erarbeitet. .]]>
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        <![CDATA[Mathe Matura Mai 2021 - Aufgabe 11 - Halbwertszeiten von Zerfallsprozessen | Aufgabenpool]]>
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        <![CDATA[Maturavorbereitung: In diesem Video erklärt Markus Aufgabe 11 der österreichischen Mathe-Zentralmatura vom Mai 2021. Die Aufgabe heißt "Halbwertszeiten von Zerfallsprozessen". 

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Die Inhalte wurden für die Darstellung in der Miranda App angepasst. Der hier präsentierte Lösungsweg wurde vom Miranda-Team erarbeitet. .]]>
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        <![CDATA[Maturavorbereitung: Mathe Matura Mai 2021 - Aufgabe 12 - Funktionsterm | Aufgabenpool]]>
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        <![CDATA[Maturavorbereitung: In diesem Video erklärt Markus Aufgabe 12 der österreichischen Mathe-Zentralmatura vom Mai 2021. Die Aufgabe heißt "Funktionsterm". 

Teste dein Wissen mit der Miranda App. Dort kannst du diese Aufgabe selbst lösen, genauso wie alle bisherigen Matura-Aufgaben und alle Aufgaben des Mathe-Aufgabenpools. So bereitest du dich optimal auf deine Schularbeiten, Tests und die Matura vor.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"

Diese Aufgabe ist Teil des offiziellen AHS-Mathematik-Aufgabenpools des BMBWF auf https://prod.aufgabenpool.at/ahs/ 
Die Inhalte wurden für die Darstellung in der Miranda App angepasst. Der hier präsentierte Lösungsweg wurde vom Miranda-Team erarbeitet. .]]>
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        <![CDATA[Maturavorbereitung: Mathe Matura Mai 2021 - Aufgabe 13 - Diät | Aufgabenpool]]>
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        <![CDATA[Maturavorbereitung: In diesem Video erklärt Markus Aufgabe 13 der österreichischen Mathe-Zentralmatura vom Mai 2021. Die Aufgabe heißt "Diät". 

Teste dein Wissen mit der Miranda App. Dort kannst du diese Aufgabe selbst lösen, genauso wie alle bisherigen Matura-Aufgaben und alle Aufgaben des Mathe-Aufgabenpools. So bereitest du dich optimal auf deine Schularbeiten, Tests und die Matura vor.

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Die Inhalte wurden für die Darstellung in der Miranda App angepasst. Der hier präsentierte Lösungsweg wurde vom Miranda-Team erarbeitet. .]]>
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        <![CDATA[Mathe Matura Mai 2021 - Aufgabe 14 - Änderungsraten einer Polynomfunktion | Aufgabenpool]]>
      </video:title>
      <video:description>
        <![CDATA[Maturavorbereitung: In diesem Video erklärt Markus Aufgabe 14 der österreichischen Mathe-Zentralmatura vom Mai 2021. Die Aufgabe heißt "Änderungsraten einer Polynomfunktion". 

Teste dein Wissen mit der Miranda App. Dort kannst du diese Aufgabe selbst lösen, genauso wie alle bisherigen Matura-Aufgaben und alle Aufgaben des Mathe-Aufgabenpools. So bereitest du dich optimal auf deine Schularbeiten, Tests und die Matura vor.

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Die Inhalte wurden für die Darstellung in der Miranda App angepasst. Der hier präsentierte Lösungsweg wurde vom Miranda-Team erarbeitet. .]]>
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        <![CDATA[Maturavorbereitung: Mathe Matura Mai 2021 - Aufgabe 16 - Bestimmtes Integral | Aufgabenpool]]>
      </video:title>
      <video:description>
        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus Aufgabe 16 der österreichischen Mathe-Zentralmatura vom Mai 2021. Die Aufgabe heißt "Bestimmtes Integral". 

Teste dein Wissen mit der Miranda App. Dort kannst du diese Aufgabe selbst lösen, genauso wie alle bisherigen Matura-Aufgaben und alle Aufgaben des Mathe-Aufgabenpools. So bereitest du dich optimal auf deine Schularbeiten, Tests und die Matura vor.

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        <![CDATA[Maturavorbereitung: Mathe Matura Mai 2021 - Aufgabe 17 - Funktionseigenschaften | Aufgabenpool]]>
      </video:title>
      <video:description>
        <![CDATA[Maturavorbereitung: In diesem Video erklärt Markus Aufgabe 17 der österreichischen Mathe-Zentralmatura vom Mai 2021. Die Aufgabe heißt "Funktionseigenschaften". 

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        <![CDATA[Maturavorbereitung: Mathe Matura Mai 2021 - Aufgabe 18 - Wasserzufluss | Aufgabenpool]]>
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        <![CDATA[Maturavorbereitung: In diesem Video erklärt Markus Aufgabe 18 der österreichischen Mathe-Zentralmatura vom Mai 2021. Die Aufgabe heißt "Wasserzufluss". 

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        <![CDATA[Maturavorbereitung: Mathe Matura Mai 2021 - Aufgabe 19 - Aufnahmetest | Aufgabenpool]]>
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        <![CDATA[Maturavorbereitung: In diesem Video erklärt Markus Aufgabe 19 der österreichischen Mathe-Zentralmatura vom Mai 2021. Die Aufgabe heißt "Aufnahmetest". 

Teste dein Wissen mit der Miranda App. Dort kannst du diese Aufgabe selbst lösen, genauso wie alle bisherigen Matura-Aufgaben und alle Aufgaben des Mathe-Aufgabenpools. So bereitest du dich optimal auf deine Schularbeiten, Tests und die Matura vor.

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        <![CDATA[Maturavorbereitung: Mathe Matura Mai 2021 - Aufgabe 20 - Gehälter | Aufgabenpool]]>
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        <![CDATA[Maturavorbereitung: In diesem Video erklärt Markus Aufgabe 20 der österreichischen Mathe-Zentralmatura vom Mai 2021. Die Aufgabe heißt "Gehälter". 

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        <![CDATA[Maturavorbereitung: Mathe Matura Mai 2021 - Aufgabe 21 - Münzwurf | Aufgabenpool]]>
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        <![CDATA[Maturavorbereitung: In diesem Video erklärt Markus Aufgabe 21 der österreichischen Mathe-Zentralmatura vom Mai 2021. Die Aufgabe heißt "Münzwurf". 

Teste dein Wissen mit der Miranda App. Dort kannst du diese Aufgabe selbst lösen, genauso wie alle bisherigen Matura-Aufgaben und alle Aufgaben des Mathe-Aufgabenpools. So bereitest du dich optimal auf deine Schularbeiten, Tests und die Matura vor.

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Die Inhalte wurden für die Darstellung in der Miranda App angepasst. Der hier präsentierte Lösungsweg wurde vom Miranda-Team erarbeitet. .]]>
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        <![CDATA[Maturavorbereitung: Mathe Matura Mai 2021 - Aufgabe 23 - Rauchverhalten | Aufgabenpool]]>
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        <![CDATA[Maturavorbereitung: In diesem Video erklärt Markus Aufgabe 23 der österreichischen Mathe-Zentralmatura vom Mai 2021. Die Aufgabe heißt "Rauchverhalten". 

Teste dein Wissen mit der Miranda App. Dort kannst du diese Aufgabe selbst lösen, genauso wie alle bisherigen Matura-Aufgaben und alle Aufgaben des Mathe-Aufgabenpools. So bereitest du dich optimal auf deine Schularbeiten, Tests und die Matura vor.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"

Diese Aufgabe ist Teil des offiziellen AHS-Mathematik-Aufgabenpools des BMBWF auf https://prod.aufgabenpool.at/ahs/ 
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        <![CDATA[Mathe Matura Mai 2021 - Aufgabe 24 - Wahrscheinlichkeiten einer Zufallsvariablen | Aufgabenpool]]>
      </video:title>
      <video:description>
        <![CDATA[Maturavorbereitung: In diesem Video erklärt Markus Aufgabe 24 der österreichischen Mathe-Zentralmatura vom Mai 2021. Die Aufgabe heißt "Wahrscheinlichkeiten einer Zufallsvariablen". 

Teste dein Wissen mit der Miranda App. Dort kannst du diese Aufgabe selbst lösen, genauso wie alle bisherigen Matura-Aufgaben und alle Aufgaben des Mathe-Aufgabenpools. So bereitest du dich optimal auf deine Schularbeiten, Tests und die Matura vor.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"

Diese Aufgabe ist Teil des offiziellen AHS-Mathematik-Aufgabenpools des BMBWF auf https://prod.aufgabenpool.at/ahs/ 
Die Inhalte wurden für die Darstellung in der Miranda App angepasst. Der hier präsentierte Lösungsweg wurde vom Miranda-Team erarbeitet. .]]>
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        <![CDATA[Wie erkenne ich eigentlich eine komplexe Zahl?]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video, wie du eine Komplexe Zahl erkennst. Tatsächlich sind ALLE Zahlen, mit denen du in der Schule zu tun hast, Komplexe Zahlen. Denn alle anderen Zahlenmengen sind Teilmengen der Zahlenmenge C, also der Komplexen Zahlen. Jede natürliche Zahl, jede ganze Zahl, jede rationale Zahl, jede irrationale Zahl und jede reelle Zahl ist AUCH komplex.

Zahlen, die nicht reell, aber komplex sind, sind alle (geraden) Wurzeln aus negativen Zahlen. Diese schreibt man dann mit der imaginären Einheit i an. 

Die Wurzel aus minus 1 = i 

Die Natürlichen Zahlen, die Ganzen Zahlen, die Rationalen Zahlen, die Irrationalen Zahlen und die Reellen Zahlen sind eine Teilmenge der Komplexen Zahlen.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Gibt es eigentlich eine kleinste bzw. größte Zahl?]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus beschäftigt sich in diesem Video mit der Frage, ob es eine kleinste Zahl bzw. eine größte Zahl gibt. Die Antwort darauf ist gar nicht soooo leicht, denn es kommt darauf an....

Wenn du eine bestimmte Menge gegeben hast, kann es sehr wohl sein, dass es in dieser Menge sowohl eine kleinste als auch eine größte Zahl gibt. Es kann aber auch sein, dass es in dieser Menge weder eine kleinste Zahl noch eine größte Zahl gibt.

Bei den Zahlenmengen haben nur die Natürlichen Zahlen eine kleinste Zahl, nämlich 0 oder 1 (je nach Definition der Natürlichen Zahlen), aber keine größte Zahl. Alle anderen Zahlenmengen haben weder eine kleinste, noch eine größte Zahl. 

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Wie viele Lösungen hat eine lineare Gleichung mit 2 Variablen?]]>
      </video:title>
      <video:description>
        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video, wieviele Lösungen eine lineare Gleichung mit 2 Variablen hat.

Eine lineare Gleichung mit 2 Variablen sieht zum Beispiel so aus: 4x - 2y = 6
So eine Gleichung kann man auch als Gerade im R² bzw. in der Ebene geometrisch deuten. Das sieht man ganz easy, wenn man die Gleichung umformt auf die übliche Geradengleichungs-Form, nämlich 
y = 2x - 3

In dieser Form sieht man, dass diese Gleichung einfach eine Gerade mit Steigung 2 und Schnittpunkt mit der y-Achse im Punkt (0/-3) ist. Und so eine Gerade besteht ja aus unendlich vielen "aneinandergereihten" Punkten. Und genau diese Punkte sind Lösungen dieser linearen Gleichung mit 2 Variablen. Eine lineare Gleichung mit 2 Variablen hat also unendlich viele Lösungen, und diese Lösungen sind, graphisch dargestellt, die einzelnen unendlich vielen Punkte der jeweiligen Geraden.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Wie viele Lösungen hat eine lineare Ungleichung mit 2 Variablen?]]>
      </video:title>
      <video:description>
        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video, wieviele Lösungen eine lineare Ungleichung mit 2 Variablen hat.

Bei einem anderen Video hat unser Tutor ja schon die Frage beantwortet, wieviele Lösungen eine lineare GLEICHUNG mit 2 Variablen hat.

Eine lineare Gleichung mit 2 Variablen sieht zum Beispiel so aus: 4x - 2y = 6
So eine Gleichung kann man auch als Gerade im R² bzw. in der Ebene geometrisch deuten. Das sieht man ganz easy, wenn man die Gleichung umformt auf die übliche Geradengleichungs-Form, nämlich 
y = 2x - 3

In dieser Form sieht man, dass diese Gleichung einfach eine Gerade mit Steigung 2 und Schnittpunkt mit der y-Achse im Punkt (0/-3) ist. Und so eine Gerade besteht ja aus unendlich vielen "aneinandergereihten" Punkten. Und genau diese Punkte sind Lösungen dieser linearen Gleichung mit 2 Variablen. Eine lineare Gleichung mit 2 Variablen hat also unendlich viele Lösungen, und diese Lösungen sind, graphisch dargestellt, die einzelnen unendlich vielen Punkte der jeweiligen Geraden.

Eine lineare UNGLEICHUNG ist dann beispielsweise y "größer als" 2x - 3 oder y "kleiner als" 2x - 3 (das größer und kleiner Zeichen ist im Text nicht erlaubt). Die Lösungen sind dann alle Punkte der Halbebene (das heißt deshalb Halbebenen, weil die Ebene "geteilt wird" in einen Lösungsbereich und einen "Nicht-Lösungsbereich"), die links und oberhalb (bei größer als) bzw. rechts und unterhalb (bei kleiner als) der Gerade sind. Bei "größer gleich" bzw. "kleiner gleich" sind die Punkte der Gerade auch noch inkludiert, diese sind also auch noch Lösungen. 

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Was bedeutet eigentlich "wahre Aussage"?]]>
      </video:title>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video, was "Wahre Aussage" in der Mathematik bedeutet. 
"Wahre Aussage" bedeutet in Mathe, wie auch überall sonst, dass diese Aussage immer richtig ist bzw. für jede beliebige Zahl zutrifft. Es gibt also unendlich viele Lösungen für die jeweilige Gleichung.

x=x  oder  0=0  oder  2+y=y+2  sind beispielsweise wahre Aussagen. Das bedeutet dann, dass die jeweiligen Gleichungen unendlich viele Lösungen besitzen. Die Gleichung x=x  ist nämlich für JEDES beliebige x erfüllt bzw. richtig bzw. wahr. Es gibt kein einzige Zahl, für die diese Gleichung nicht erfüllt ist.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Was bedeutet eigentlich "falsche Aussage"?]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video, was "Falsche Aussage" in der Mathematik bedeutet. 
"Falsche Aussage" bedeutet in Mathe, wie auch überall sonst, dass diese Aussage immer falsch ist bzw. für keine einzige Zahl zutrifft. Es gibt also keine einzige Lösung.

x=x+1  oder  0=5  oder  2+y=y+4  sind beispielsweise falsche Aussagen. Das bedeutet dann, dass die jeweiligen Gleichungen keine einzige Lösung besitzen. Die Gleichung x=x+1  ist nämlich für KEIN einziges x erfüllt bzw. richtig bzw. wahr. Es gibt keine einzige Zahl, für die diese Gleichung erfüllt ist.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Wie löst man eigentlich eine quadratische Gleichung?]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video, wie du eine quadratische Gleichung (händisch) durch Umformungen lösen kannst. Ein moderner Taschenrechner kann diese Gleichungen lösen, aber da geht ja der ganze Spaß am Rechnen verloren :)

Um eine quadratische Gleichung zu lösen, gibt es verschiedene Möglichkeiten, je nachdem, wie die Gleichung genau aussieht. Du kannst aber auf jeden Fall IMMER (also bei JEDER quadratischen Gleichung) die Große Lösungsformel anwenden. 

Und wenn du eine sogenannte "Normierte quadratische Gleichung" vorliegen hast, dann kannst du auch die kleine Lösungsformel anwenden. 

Bei einer quadratischen Gleichung erhältst du dann entweder keine oder eine oder 2 verschiedene (reelle) Lösungen. 

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Was ist denn eigentlich eine Diskriminante?]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video, was die Diskriminante ist bzw. wo sie vorkommt.

Die Diskriminante kommt nur bei der großen und der kleinen Lösungsformel bei quadratischen Gleichungen vor. Die Diskriminante ist der mathematische Term, der jeweils unter der Wurzel steht. Je nachdem, wie groß die Diskriminante ist, gibt es keine, eine oder 2 Lösungen für die jeweilige quadratische Gleichung. 

Sie "unterscheidet" also zwischen den verschiedenen Lösungen. Daher auch das Wort "Diskriminante", kommt von "diskriminieren", also unterscheiden. Also eigentlich ist die Diskriminante heutzutage nicht mehr politisch korrekt hehe

Wenn die Diskriminante größer als 0 ist, gibt es 2 Lösungen für die quadratische Gleichung.
Wenn die Diskriminante kleiner als 0 ist, gibt es keine Lösung für die quadratische Gleichung.Wenn die Diskriminante genau gleich 0 ist, gibt es 1 Lösung für die quadratische Gleichung.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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        <![CDATA[Was bzw. wo ist die Hypotenuse?]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video, was die Hypotenuse überhaupt ist bzw. wo und wie du sie findest. 

Die Hypotenuse kommt nur in einem rechtwinkeligen Dreieck vor und ist immer die längste Seite in einem rechtwinkeligen Dreieck. Du kannst sie ganz einfach finden, denn sie liegt immer gegenüber vom rechten Winkel in einem Dreieck. Die anderen beiden Seiten im rechtwinkeligen Dreieck nennt man Katheten. Die beiden Katheten schließen den rechten Winkel ein und müssen jeweils kürzer sein als die Hypotenuse.

Im rechtwinkeligen Dreieck gilt auch der berühmte Satz von Pythagoras: a² + b² = c²
In dieser Formel sind a und b die Katheten, und c ist die Hypotenuse. 

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        <![CDATA[Wie sieht der Graph einer linearen Funktion aus?]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus, wie der Graph einer linearen Funktion aussehen kann. 

Der Funktionsgraph einer linearen Funktion ist immer eine Gerade. Wenn die Steigung k positiv ist, dann ist die Gerade steigend (sie geht "bergauf", von links nach recht gesehen). Wenn die Steigung k negativ ist, dann ist die Gerade fallend (sie geht "bergab" von links nach rechts gesehen). 

Am Achsenabschnitt d kannst du erkennen, in welchem Punkt der Graph die y-Achse schneidet. Er schneidet die y-Achse immer in P=(0/d). Mit d kannst du also den Schnittpunkt mit der y-Achse ablesen.

Wenn das k=0 ist, dann ist die Gerade waagrecht (parallel zur x-Achse). Man spricht dann auch von einer Konstanten Funktion. Wenn das d=0 ist, dann verläuft die Gerade durch den Ursprung. Man spricht dann auch von einer direkten Proportionalitätsfunktion.

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        <![CDATA[Wie sieht der Graph einer Potenzfunktion aus?]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus, wie der Graph einer Potenzfunktion aussehen könnte. 

Eine Potenzfunktion kann ganz unterschiedliche Funktionsgraphen haben, je nachdem, welche Hochzahl die Potenz hat. Allerdings sind die markanten Stellen (Extremstellen, Wendestellen, Polstellen) immer auf der y-Achse, da die Potenzfunktion im Normalfall nicht nach links oder rechts "verschoben" ist.

Eine Potenzfunktion mit gerader Hochzahl (egal ob positiv oder negativ) ist außerdem immer eine gerade Funktion, d.h. sie ist symmetrisch zur y-Achse. 

Eine Potenzfunktion mit der Hochzahl 2 ist eine quadratische Funktion und parabelförmig.

Eine Potenzfunktion mit ungerader Hochzahl ist eine ungerade Funktion, d.h. symmetrisch zum Ursprung, wenn sie nicht nach oben bzw. unten verschoben wurde (wenn sie durch den Ursprung verläuft).

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        <![CDATA[Wie berechnet man die Nullstelle(n) einer Funktion?]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus, wie du die Nullstellen einer Funktion berechnen kannst.

Die Nullstellen sind die Schnittpunkte der Funktion bzw. des Funktionsgraphen mit der x-Achse. Eine Funktion kann, je nachdem, von welchem Funktionstyp sie ist, sehr viele Nullstellen besitzen. Es ist aber auch möglich, dass es keine einzige Nullstelle gibt.

Um die Nullstellen zu berechnen, musst du die Funktion bzw. den Funktionswert f(x) "gleich 0 setzen", also die Gleichung f(x)=0 bilden und diese dann lösen (händisch oder mit dem Taschenrechner). Die Lösungen, die du erhältst, sind die Nullstellen. 

f(x) ist ja immer auch der Funktionswert der Funktion bzw. die y-Koordinate eines Punktes bzw. Wertepaares. Und die Definition einer Nullstelle ist, dass der Funktionsgraph die x-Ache an der Nullstelle schneidet. Das bedeutet, dass der Funktionswert an der Nullstelle eben Null sein muss. Wenn du f(x) gleich null setzt, dann "suchst" du eben genau diese Nullstellen, bei denen der Funktionswert "gleich null" sein muss.

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        <![CDATA[Wie berechnet man die Extremstelle(n) einer Funktion?]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus, wie du die Extremstellen einer Funktion berechnen kannst.

Um die Extremstellen zu berechnen, musst du die 1. Ableitung der Funktion "gleich 0 setzen", also die Gleichung f'(x)=0 bilden und diese dann lösen (händisch oder mit dem Taschenrechner). Die Lösungen, die du erhältst, sind die Extremstellen. 

Die 1. Ableitung ist ja immer auch die Steigung der Funktion. Und die Definition einer Extremstelle ist, dass sich das Monotonieverhalten (bzw. die Steigung) an der Extremstelle ändert (das Vorzeichen ändert). In  anderen Worten: An der Extremstelle muss die Steigung der Funktion (also die 1. Ableitung) gleich null sein. 

Um herauszufinden, ob an der Extremstelle ein Maximum (Hochpunkt) oder ein Minimum (Tiefpunkt) vorliegt, musst du dir die Krümmung (2. Ableitung) an der jeweiligen Stelle berechnen. Ist die Krümmung positiv, ist an der jeweiligen Stelle ein Minimum bzw. Tiefpunkt. Ist die Krümmung negativ, ist an der jeweiligen Stelle ein Maximum bzw. Hochpunkt.

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        <![CDATA[Wie berechnet man die Wendestelle(n) einer Funktion?]]>
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        <![CDATA[In diesem Video erklärt Markus, wie du die Wendestellen einer Funktion berechnen kannst.

Um die Wendestellen zu berechnen, musst du die 2. Ableitung der Funktion "gleich 0 setzen", also die Gleichung f''(x)=0 bilden und diese dann lösen (händisch oder mit dem Taschenrechner). Die Lösungen, die du erhältst, sind die Wendestellen. 

Die 2. Ableitung ist ja immer auch die Krümmung der Funktion. Und die Definition der Wendestelle ist, dass sich das Krümmungsverhalten an der Wendestelle ändert (das Vorzeichen ändert). In  anderen Worten: An der Wendestelle muss die Krümmung der Funktion (also die 2. Ableitung) gleich null sein.

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        <![CDATA[Was ist der Unterschied zwischen einer Stelle und einem Punkt?]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video den Unterschied zwischen einer Stelle und einem Punkt (auf einem Funktionsgraphen). 

Mit einer Stelle ist immer nur die x-Koordinate eines Punktes bzw. eines Wertepaares gemeint. Wenn man beispielsweise von einer Extremstelle oder einer Wendestelle spricht, so spricht man nur von der x-Koordinate, an der diese Extrem- bzw. Wendestelle ist.. 

Ein Punkt bzw. ein Wertepaar hat immer eine Stelle und einen Funktionswert (an dieser Stelle) bzw. eine x- und eine y-Koordinate. Ein Punkt bzw. Wertepaar besteht also immer aus 2 Werten bzw. Koordinaten. Um den Wendepunkt anzugeben, brauchst du also die x-Koordinate des Wendepunkts (bzw. die Wendestelle) und den zugehörigen Funktionswert an dieser Stelle (also die y-Koordinate des Wendepunkts). 

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        <![CDATA[Wie berechnet man die Halbwertszeit?]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt dir in diesem Video, wie du die Halbwertszeit bei einer Exponentialfunktion berechnen kannst. Diese kommt nur in Zusammenhang mit der Exponentialfunktion vor. 

Bei einer Exponentialfunktion nimmt eine bestimmte Größe - z.B: die Bevölkerungszahl oder eine Bakterienanzahl, usw. - in einem bestimmten Zeitraum um einen gewissen Prozentsatz zu oder ab. Im Gegensatz zur Linearen Funktion, bei der eine Größe immer um denselben Wert (also um dieselbe Zahl) zu- oder abnimmt.

Die Halbwertszeit ist diejenige Zeitspanne, in der die jeweilige Größe auf die Hälfte des vorherigen Werts abgenommen hat. Also die Zeit, nach der die Größe nur noch den "halben Wert" hat.  

Bei einer Exponentialfunktion hat man ja immer die allgemeine Funktionsgleichung
f(x)= a * b^x
Das "a" ist der Anfangs- bzw. Startwert, und das "b" ist der Abnahmefaktor (bei einer exponentiellen Abnahme bzw. bei exponentiellem Zerfall). 
a und b kann man irgendwie aus der Angabe rausfinden, dann erhält man beispielsweise die Funktionsgleichung
f(x)= 500 * 0,924^x
Um die Halbwertszeit zu berechnen, musst du jetzt für f(x) die Hälfte das Anfangswerts einsetzen, also in diesem Fall 250. Die Gleichung
250= 500 * 0,924^x  kannst du dann lösen (händisch oder mit dem Rechner) und das erhaltene x ist die Halbwertszeit.

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        <![CDATA[Was bedeuten die runden und eckigen Klammern bei Intervallen?]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video, was die runden bzw. eckigen Klammern bei Intervallen bedeuten.

Intervalle verwendet man nur bei reellen Zahlen, wenn du also ausdrücken willst, dass du Zahlen von der einen Zahl bis zu der anderen Zahl "verwenden willst". Oder dass Zahlen von der ersten Zahl bis zur zweiten Zahl "vorkommen". 

Die runden Klammern bedeuten, dass diese Zahl NICHT inkludiert ist, z.B:
(3 ; 6) Dieses Intervall sind alle reellen Zahlen von 3 bis 6, aber OHNE 3 und 6. Also alle Zahlen, die größer als 3 sind und kleiner als 6 sind.

Die eckigen Klammern bedeuten, dass die Zahl eben schon inkludiert ist im Intervall, z.B:
[3 ; 6]  Dieses Intervall sind alle reellen Zahlen von 3 bis 6 INKLUSIVE 3 und 6. 3 und 6 sind also auch dabei im Intervall. Also alle Zahlen, die größer oder gleich (mindestens) 3 sind und kleiner oder gleich  (höchstens) 6 sind.

Bei Intervallen kannst du nur runde und eckige Klammern verwenden. Bei Mengen verwendet man geschwungene Klammern {}

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        <![CDATA[Was bedeutet nCr (beim Binomialkoeffizient)?]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video, was nCR bei der Eingabe des Binomialkoeffizienten in den Taschenrechner bedeutet. 

Der Binomialkoeffizient "n über k" (die mathematische Schreibweise kann man hier im Text leider nicht schreiben) gibt keine Wahrscheinlichkeit, sondern immer eine gewisse Anzahl von Möglichkeiten an. Und zwar die Anzahl von Möglichkeiten, dass man aus n Elementen genau k Elemente auswählt, unabhängig von der Reihenfolge (die Reihenfolge ist egal). 

"n über k" wird im Englischen als "n über r" geschrieben, und das C bei nCr bedeutet "Choose". nCr heißt also " n Choose r", quasi die englische Sprechweise für "n über k". 
Auf Deutsch heißt es also "n über k", auf Englisch "n Choose r", und im Taschenrechner wird die englische Sprechweise abgekürzt. 

"11 über 5" beim Fußball würde beispielsweise die Anzahl an Möglichkeiten angeben, die 5 Elfmeterschützen aus den 11 Spielern auszuwählen. Die Reihenfolge ist egal, es geht hier dann nur darum, WER die Elfmeter schießt. Wer WANN schießt, ist uns in diesem Fall egal.

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        <![CDATA[Wie erkennt man eine Binomialverteilung?]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video, wie man eine binomialverteilte Zufallsvariable bzw. Binomialverteilung erkennt. 

Wenn man es mit Binomialverteilung zu tun hat, dann wird ein bestimmter Zufallsversuch immer mehrmals durchgeführt und zwar mit "Ziehen mit Zurücklegen". Für eine Binomialverteilung muss folgendes gegeben sein:
Es darf nur 2 verschiedene "Ausgänge" geben, also Erfolg und Misserfolg (Sechser oder kein Sechser beim Würfeln, rote oder nicht rote Kugel beim Kugeln ziehen,...)
Die einzelnen Wiederholungen dürfen sich nicht beeinflussen (das heißt, die Wahrscheinlichkeit für "Erfolg" ist bei jeder einzelnen Versuchsdurchführung gleich hoch). 
Wenn diese beiden Tatsachen vorliegen, dann handelt es sich um eine binomialverteilte Zufallsvariable bzw. Binomialverteilung. 

Wenn die Wahrscheinlichkeit NICHT gleich bleibt bei jeder einzelnen Versuchsdurchführung (z.B: bei jedem einzelnen mal Ziehen einer Kugel), dann handelt es sich NICHT um Binomialverteilung. 

Man macht also einen bestimmten Zufallsversuch (z.B: Kugeln aus einer Urne oder Schachtel ziehen) mehrmals hintereinander. Wenn man die Kugel, die man gezogen hat, nach dem Ziehen wieder in die Urne oder Schachtel zurücklegt, dann spricht man von Ziehen MIT Zurücklegen. Wenn man die Kugel aber eben NICHT wieder in die Urne zurücklegt, dann spricht man von Ziehen OHNE Zurücklegen. 

Das Ziehen von Kugeln aus einer Urne ist das Paradebeispiel, es kann aber auch ganz was anderes sein, beispielsweise Ziehen von Gummibären aus der Packung, Hausübungskontrolle in der Klasse, Drankommen zur Stundenwiederholung, Ticket-Kontrolle in der U-Bahn, usw.

Alle Zufallsversuche, bei denen es "keinen Sinn macht", dass man 2 mal "dran kommt", sind Zufallsversuche mit "Ziehen ohne Zurücklegen". Beim Ziehen ohne Zurücklegen ÄNDERT sich bei jedem mal Ziehen die Wahrscheinlichkeit, daher handelt es sich bei Ziehen ohne Zurücklegen nicht um Binomialverteilung. Beim Ziehen mit Zurücklegen bleibt die Wahrscheinlich]]>
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        <![CDATA[Wie ändert sich die Breite eines Konfidenzintervalls?]]>
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        <![CDATA[Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video, wie sich die Breite eines Konfidenzintervalls ändert, wenn man verschiedene Parameter ändert. Ein Konfidenzintervall (kurz KI) wird auch Vertrauensbereich oder  Vertrauensintervall genannt. 

Ein Konfidenzintervall berechnet man in der Statistik, wenn man wissen will, wie groß ein bestimmter Parameter (z.B: der Stimmenanteil einer Partei bei einer Wahl) mit einer gewissen Sicherheit ist. Diese Sicherheit eines Konfidenzintervalls wird auch Konfidenzniveau genannt. 

Wenn man ein Konfidenzintervall für eine bestimmte Umfrage (wie viel Prozent wird die SPÖ erreichen?) oder einen bestimmten Datensatz berechnet, nimmt man als Konfidenzniveau üblicherweise 90%, 95% oder 99%. Am öftesten kommt das 95%-Konfidenzintervall vor, also ein Konfidenzintervall, bei dem die Sicherheit 95% beträgt. 

So ein 95% KI bedeutet dann, dass das KI den wahren Wert des Parameters (wieviel % die SPÖ bei der Wahl dann wirklich bekommt) mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% enthält. Ist das 95% KI beispielsweise [23,8% ; 27,6%], dann enthält dieses Intervall den "wahren Prozentsatz" (der dann bei der Wahl herauskommt) mit einer Wahrscheinlichkeit von 95%. 
Oder: Der wahre Wert liegt zu 95% zwischen 23,8 und 27,6%. 

Wenn man die Sicherheit des KI vergrößert, so vergrößert sich auch die Breite des Konfidenzintervalls. Wenn man die Sicherheit des KI verkleinert, so verringert sich die Breite des Konfidenzintervalls.

Wenn sich der Stichprobenumfang n einer Umfrage erhöht (wenn man also mehr Leute für so eine Umfrage interviewt), so verringert sich die Breite des KI. Wenn man den Stichprobenumfang n einer Umfrage verringert (wenn man also weniger Leute für so eine Umfrage interviewt), so erhöht sich die Breite des KI. 

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"]]>
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