Integralrechnung - Ober- und Untersumme
Unser Tutor Markus erklärt in diesem Video die sogenannte Ober- und Untersumme, die oft in Verbindung mit dem (bestimmten) Integral vorkommt.
Beim bestimmten Integral (Integral mit Grenzen) kommt immer eine Zahl heraus. Wenn die Fläche zwischen Funktionsgraph und x-Achse zur Gänze oberhalb der x-Achse ist, dann ist das bestimmte Integral genau gleich groß wie der Flächeninhalt zwischen Funktionsgraph und x-Achse innerhalb der beiden Grenzen.
Die Obersumme und die Untersumme sind Näherungen für diesen exakten Flächeninhalt, den man mit dem bestimmten Integral berechnet. Die Untersumme wird dabei von mehreren gleich breiten Rechtecken gebildet, die alle unterhalb des Funktionsgraphen sind und bis zur x-Achse reichen. Die Untersumme ist die Summe der Flächeninhalte dieser Rechtecke.
Die Obersumme wird von mehreren gleich breiten Rechtecken gebildet, die alle oberhalb des Funktionsgraphen sind und bis zur x-Achse reichen. Die Obersumme ist die Summe der Flächeninhalte dieser Rechtecke.
Der exakte Flächeninhalt liegt immer zwischen Obersumme und Untersumme. Wenn man die Anzahl der Rechtecke bei Ober- bzw. Untersumme vergrößert (also die Breite der Rechtecke verkleinert), do nähert sich die Unter- bzw. Obersumme immer näher dem exakten Flächeninhalt an. Der exakte Flächeninhalt ist dann der Grenzwert der Ober- bzw. Untersumme, wenn die Breite der Rechtecke unendlich klein wird, also gegen 0 geht. Dieser Grenzwert ist dann genau das bestimmte Integral, mit dem man eben den Flächeninhalt exakt berechnen kann.
Viele Taschenrechner (so auch unser Miranda-Taschenrechner) können das bestimmte Integral berechnen. Das bestimmte Integral kann auch mit der Obersumme und der Untersumme angenähert werden.
Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"
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