Äquivalenz und Äquivalenzumformungen

In diesem Video erklärt unser Tutor Markus, was Äquivalenz (bei Gleichungen) bedeutet und welche Umformungen Äquivalenzumformungen sind.

2 Gleichungen sind genau dann äquivalent, wenn sie genau dieselben Lösungen besitzen. Die Gleichungen x=3 und 2x=6 sind also äquivalent, weil sie beide nur die eine Lösung x=3 besitzen. Die Gleichungen x=5 und x²=25 sind NICHT äquivalent, weil x²=25 besitzt 2 Lösungen, nämlich x1=5 und x2= -5. Diese beiden Gleichungen besitzen also nicht genau dieselben Lösungen.

Wenn du eine Gleichung umformst, um dir die Lösung (das x) zu berechnen, dann führst du eigentlich automatisch ÄQUIVALENZ-Umformungen aus. Denn vor und nach der Umformung hat die Gleichung noch dieselben Lösungen, die Gleichung vor und nach der Umformung ist also äquivalent. Es gibt aber einige Umformungen, die KEINE Äquivalenzumformungen sind, und die man demnach auch nicht durchführen darf. Hier sind einige Beispiele:

"auf beiden Seiten" mit null multiplizieren. Das ist NIE eine Äquivalenzumformung, also nicht erlaubt.
"auf beiden Seiten" quadrieren. Das ist manchmal eine Äquivalenzumformung
"auf beiden Seiten" durch die Variable x dividieren. Das ist keine Äquivalenzumformung, es geht eine Lösung verloren.

Dieses Video ist Teil des Miranda-Kurses "Mathematik für die AHS-Oberstufe | Österreich"

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